【微分積分】1-1-5 漸化式の極限｜要点まとめ
漸化式の基本と極限の考え方
【漸化式の極限の求め方】
漸化式の極限を求めるには、極限が存在すると仮定する。\(a_n\)と\(a_{n+1}\)を\(a\)とおいた方程式を解き、\(a\)を使って以下のように定義できる。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n-a|=0\)
ただし、求めた極限値の候補がいつも極限値となるとは限らない。
【例題】次の漸化式で定まる数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の極限を求めなさい。
\(\displaystyle a_1=c,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+1\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{\alpha}{2}+1\)を解くと、\(\alpha=2\)
求める漸化式は、
\(\displaystyle a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)\)
数列\(\{a_n-2\}_{n=1}^\infty\)は初項\(c-2\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の等比数列なので、
\(\displaystyle a_n-2=(c-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle a_n=(c-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+2\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{c-2}{2^{n-1}}+2\right)=2\)
求める漸化式は、
\(\displaystyle a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)\)
数列\(\{a_n-2\}_{n=1}^\infty\)は初項\(c-2\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の等比数列なので、
\(\displaystyle a_n-2=(c-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle a_n=(c-2)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+2\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{c-2}{2^{n-1}}+2\right)=2\)
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