【微分積分】1-4-2 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理」について、要点をわかりやすくまとめています。数列の収束と部分列の関係を通して、定理の意味や証明の考え方を整理。極限の理解をより深めたい人に役立ちます。
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理とは？数列の収束と部分列の関係
【部分列】
自然数\(n_k\)を項とする狭義単調増加数列\(\{n_k\}_{k=1}^\infty\)をとる。数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)に対して、数列\(\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty\)をその部分列という。
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty=\{a_1,a_2,a_3,a_4,\cdots\}\)のとき
・\(\{a_{2n}\}_{n=1}^\infty=\{a_2,a_4,a_6,a_8,\cdots\}\)
・\(\{a_{2n-1}\}_{n=1}^\infty=\{a_1,a_3,a_5,a_7,\cdots\}\)
・\(\{a_{n^2}\}_{n=1}^\infty=\{a_1,a_4,a_9,a_{16},\cdots\}\)
は\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の部分列である。
【収束する数列の部分列の極限】
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)が\(a\)に収束するとき、\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の任意の部分列\(\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty\)も\(a\)に収束する。
【ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理】
有界な数列は、収束する部分列をもつ。