【微分積分】4-8-4 スツルム・リウヴィル型微分方程式｜要点まとめ
このページでは、大学数学で重要となる「スツルム・リウヴィル型微分方程式」について整理します。特に、固有値問題として現れるルジャンドル多項式・ラゲール多項式・エルミート多項式といった特殊関数が、どのようにこの微分方程式から導かれるのか、その数学的背景と典型例をわかりやすく解説します。微分方程式の構造理解と特殊関数の基礎固めを目的に、要点を体系的にまとめていきましょう。
ルジャンドル多項式
【ルジャンドル多項式】
自然数\(n\)に対して
\(\displaystyle P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\)
とおくと、以下が成り立つ。
(1)\(P_n(x)\)は\(n\)次多項式
(2)\((1-x^2)P_n''(x)-2xP_n'(x)\)
\(\ \ \ +n(n+1)P_n(x)=0\)
(3)\(\displaystyle \int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{2}{2n+1}\ \ \ (m=n) \\ 0\ \ \ (m\neq n)\end{array}\right.\)
この\(P_n(x)\)をルジャンドル多項式という。
ラゲール多項式
【ラゲール多項式】
自然数\(n\)に対して
\(\displaystyle L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}x^ne^{-x}\)
とおくと、以下が成り立つ。
(1)\(L_n(x)\)は\(n\)次多項式
(2)\(xL_n''(x)+(1-x)L_n'(x)+nL_n(x)=0\)
(3)\(\displaystyle \int_0^\infty L_m(x)L_n(x)e^{-x}dx\)
\(\ \ \ =\left\{\begin{array}{l}(n!)^2\ \ \ (m=n) \\ 0\ \ \ (m\neq n)\end{array}\right.\)
この\(L_n(x)\)をラゲール多項式という。
エルミート多項式
【エルミート多項式】
自然数\(n\)に対して
\(\displaystyle H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\)
とおくと、以下が成り立つ。
(1)\(H_n(x)\)は\(n\)次多項式
(2)\(H_n''(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0\)
(3)\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx\)
\(\ \ \ =\left\{\begin{array}{l}2^nn!\sqrt{\pi}\ \ \ (m=n) \\ 0\ \ \ (m\neq n)\end{array}\right.\)
この\(H_n(x)\)をエルミート多項式という。
スツルム・リウヴィル型微分方程式
【スツルム・リウヴィル型微分方程式】
微分方程式は関数\(p(x),\rho(x)\)と実数\(\lambda\)を使って
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{d}{dx}\right)u(x)=-\lambda\rho(x)u(x)\)
とまとめることができる。これをスツルム・リウヴィル型微分方程式という。
【例題】次の境界値問題の固有値と固有関数を求めなさい。