【微分積分】1-1-6 増加速度の比較｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「増加速度の比較」について、要点をわかりやすくまとめています。多項式・指数関数・階乗の増加速度の違いを整理し、例題を通して各関数の成長の速さを理解できるよう解説。基礎から確実に学びたい人に役立ちます。
多項式、指数関数、階乗の増加速度
【数列の比判定法】
\(0\leqq a< 1\)とするとき、
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)が\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=a\)ならば
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)
【多項式、指数関数、階乗の増加速度】
一般的に以下が成り立つ。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^\alpha}{r^n}=0\)
増加速度に関しては多項式、指数関数、階乗の順番で速くなることがわかる。
【例題】次の数列の極限を求めなさい。ただし、\(r>1\)とする。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{r^n}\)
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