極限の大小関係
【数列の極限と大小関係】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{b_n\}^\infty_{n=1}\)がともに収束するとし、\(a_n\leqq b_n\ (n\in\mathbb{N})\)とする。このとき、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\leqq\lim_{n\to\infty}b_n\)
【はさみうちの原理】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1},\{b_n\}^\infty_{n=1},\{c_n\}^\infty_{n=1}\)に対して、\(a_n\leqq c_n\leqq b_n\ (n\in\mathbb{N})\)が成り立ち、\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{b_n\}^\infty_{n=1}\)がともに収束して、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\)とする。このとき、\(\{c_n\}^\infty_{n=1}\)も収束し、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(c_n)=\alpha\)
【追い出しの原理】
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)とする。
(1)\(a_n\leqq b_n\ (n\in\mathbb{N})\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\infty\)
(2)定数\(C\)で\(b_n\geqq C\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\infty\)
(3)正の定数\(C\)で\(b_n\geqq C\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty\)
【例題】次の数列の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}\)
\(-1\leqq\sin n\leqq1\)より、
\(\displaystyle -\frac{1}{n}\leqq\frac{\sin n}{n}\leqq\frac{1}{n}\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)
\(-1\leqq(-1)^n\leqq1\)より、
\(\displaystyle -\frac{1}{n}\leqq\frac{(-1)^n}{n}\leqq\frac{1}{n}\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0\)