【微分積分】7-5-1 テイラーの定理｜要点まとめ
このページでは、関数を多項式で近似するための基本定理である「テイラーの定理」について整理します。テイラーの定理の主張と成り立つ条件、テイラー多項式による近似の考え方、余項が表す意味を順を追って解説します。テイラー展開や近似計算、極値判定へとつながる解析学の重要な基礎事項を、体系的に理解していきましょう。
テイラーの定理による関数の多項式近似
【テイラーの定理】
関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)の近傍上で\(C^2\)級とする。このとき、その近傍内の任意の点\((x,y)\)に対して\(2\)点\((a,b)\)と\((x,y)\)を結ぶ線分上の点\((\xi,\eta)\)が存在して
\(f(x,y)\)
\(=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
\(\ \ \ +R(x,y)\)
\(R(x,y)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{f_{xx}(\xi,\eta)(x-a)^2\)
\(\ \ \ +2f_{xy}(\xi,\eta)(x-a)(y-b)+f_{yy}(y-b)^2\}\)
と表すことができる。この\(R(x,y)\)は剰余項という。
【漸近展開】
関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)の近傍上で\(C^n\)級とする。このとき、その近傍内の任意の点\((x,y)\)に対して
\(f(x,y)\)
\(\displaystyle =\sum_{m=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\frac{{}_{m}\mathrm{C}_j}{m!}\frac{\partial^mf}{\partial x^j\partial y^{m-j}}(a,b)\)
\(\ \ \ ・(x-a)^j(y-b)^{m-j}+o(r^n)\)
\((r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\to+0)\)
と表すことができる。
【例題】次の関数\(f(x,y)\)の\((0,0)\)における\(2\)次近似多項式\(P_2(x,y)\)を求めなさい。
\(\displaystyle f_x(x,y)=\frac{1}{1+x+2y}\)より、\(f_x(0,0)=1\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=\frac{2}{1+x+2y}\)より、\(f_y(0,0)=2\)
\(\displaystyle f_{xx}(x,y)=-\frac{1}{(1+x+2y)^2}\)より、\(f_{xx}(0,0)=-1\)
\(\displaystyle f_{xy}(x,y)=-\frac{2}{(1+x+2y)^2}\)より、\(f_{xy}(0,0)=-2\)
\(\displaystyle f_{yy}(x,y)=-\frac{4}{(1+x+2y)^2}\)より、\(f_{yy}(0,0)=-4\)
よって、
\(P_2(x,y)\)
\(\displaystyle =0+x+2y+\frac{1}{2}\{-x^2+2・(-2)xy-4y^2\}\)
\(\displaystyle =x+2y-\frac{x^2}{2}-2xy-2y^2\)
\(\displaystyle f_x(x,y)=-\frac{2x}{(1+x^2+2y^2)^2}\)より、\(f_x(0,0)=0\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=-\frac{4y}{(1+x^2+2y^2)^2}\)より、\(f_y(0,0)=0\)
\(f_{xx}(x,y)\)
\(\displaystyle =-\frac{2}{(1+x^2+2y^2)^2}+\frac{8x^2}{(1+x^2+2y^2)^3}\)より、
\(f_{xx}(0,0)=-2\)
\(\displaystyle f_{xy}(x,y)=\frac{16xy}{(1+x^2+2y^2)^3}\)より、
\(f_{xy}(0,0)=0\)
\(f_{yy}(x,y)\)
\(\displaystyle =-\frac{4}{(1+x^2+2y^2)^2}+\frac{32y^2}{(1+x^2+2y^2)^3}\)より、
\(f_{yy}(0,0)=-4\)
よって、
\(P_2(x,y)\)
\(\displaystyle =1+0+0+\frac{1}{2}(-2x^2+0-4y^2)\)
\(\displaystyle =1-x^2-2y^2\)