【微分積分】7-5-1 テイラーの定理｜要点まとめ
このページでは、関数を多項式で近似するための基本定理である「テイラーの定理」について整理します。テイラーの定理の主張と成り立つ条件、テイラー多項式による近似の考え方、余項が表す意味を順を追って解説します。テイラー展開や近似計算、極値判定へとつながる解析学の重要な基礎事項を、体系的に理解していきましょう。
テイラーの定理による関数の多項式近似
【テイラーの定理】
関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)の近傍上で\(C^2\)級とする。このとき、その近傍内の任意の点\((x,y)\)に対して\(2\)点\((a,b)\)と\((x,y)\)を結ぶ線分上の点\((\xi,\eta)\)が存在して
\(f(x,y)\)
\(=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
\(\ \ \ +R(x,y)\)
\(R(x,y)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{f_{xx}(\xi,\eta)(x-a)^2\)
\(\ \ \ +2f_{xy}(\xi,\eta)(x-a)(y-b)+f_{yy}(y-b)^2\}\)
と表すことができる。この\(R(x,y)\)は剰余項という。
【漸近展開】
関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)の近傍上で\(C^n\)級とする。このとき、その近傍内の任意の点\((x,y)\)に対して
\(f(x,y)\)
\(\displaystyle =\sum_{m=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\frac{{}_{m}\mathrm{C}_j}{m!}\frac{\partial^mf}{\partial x^j\partial y^{m-j}}(a,b)\)
\(\ \ \ ・(x-a)^j(y-b)^{m-j}+o(r^n)\)
\((r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\to+0)\)
と表すことができる。
【例題】次の関数\(f(x,y)\)の\((0,0)\)における\(2\)次近似多項式\(P_2(x,y)\)を求めなさい。