【微分積分】1-1-2 数列の極限の性質｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「数列の極限の性質」について、要点をわかりやすくまとめています。和・積・商ごとの極限の計算方法や、極限値の性質を整理して解説。数列の極限を基礎から確実に理解したい人に役立ちます。
和、積、商の極限の性質
【数列の和の極限】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{b_n\}^\infty_{n=1}\)がともに収束するとし、\(c\in\mathbb{R}\)とする。このとき、\(\{a_n+b_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{ca_n\}^\infty_{n=1}\)も収束し、以下が成り立つ。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}ca_n=c\lim_{n\to\infty}a_n\)
【数列の積の極限】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{b_n\}^\infty_{n=1}\)がともに収束するとき、\(\{a_nb_n\}^\infty_{n=1}\)も収束し、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}a_n・\lim_{n\to\infty}b_n\)
【数列の商の極限】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{b_n\}^\infty_{n=1}\)がともに収束するとし、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n\neq0\)とする。このとき、\(\displaystyle \left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}^\infty_{n=1}\)も収束し、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n}{\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n}\)
極限値の性質
【上界・下界】
(1)実数のある集合\(A\)に属するどんな実数\(x\)に対しても\(x\leqq m\)であるような数\(m\)が存在するとき、\(A\)は上に有界であるといい、\(m\)を\(A\)の上界という。
(2)実数のある集合\(A\)に属するどんな実数\(x\)に対しても\(x\geqq m\)であるような数\(m\)が存在するとき、\(A\)は下に有界であるといい、\(m\)を\(A\)の下界という。
(3)\(m\)が上にも下にも有界であるとき、\(m\)は有界であるという。
【収束列の有界性】
収束する数列は有界である。
【極限値の性質】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)の極限について、以下が成り立つ。ただし、\(\alpha\in\mathbb{R}\)とする。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=|\alpha|\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)である必要十分条件は、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0\)
(3)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)である必要十分条件は、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n-\alpha|=0\)
(4)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0\)
(5)\(a_n>0\)を満たし、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty\)
【例題】次の数列の極限を求めなさい。