和、積、商の極限の性質
【数列の和の極限】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{b_n\}^\infty_{n=1}\)がともに収束するとし、\(c\in\mathbb{R}\)とする。このとき、\(\{a_n+b_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{ca_n\}^\infty_{n=1}\)も収束し、以下が成り立つ。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}ca_n=c\lim_{n\to\infty}a_n\)
【数列の積の極限】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{b_n\}^\infty_{n=1}\)がともに収束するとき、\(\{a_nb_n\}^\infty_{n=1}\)も収束し、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}a_n・\lim_{n\to\infty}b_n\)
【数列の商の極限】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と\(\{b_n\}^\infty_{n=1}\)がともに収束するとし、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n\neq0\)とする。このとき、\(\displaystyle \left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}^\infty_{n=1}\)も収束し、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n}{\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n}\)
極限値の性質
【収束列の有界性】
収束する数列は有界である。
【極限値の性質】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)の極限について、以下が成り立つ。ただし、\(\alpha\in\mathbb{R}\)とする。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=|\alpha|\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)である必要十分条件は、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0\)
(3)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)である必要十分条件は、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n-\alpha|=0\)
(4)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0\)
(5)\(a_n>0\)を満たし、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)ならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\infty\)
【例題】次の数列の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{5n-1}{3n+2}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{5-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}\)
\(\displaystyle =\frac{5}{3}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}3n^2-n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}n^2\left(3-\frac{1}{n}\right)\)
\(\displaystyle =\infty\)
(3)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\)
\(\displaystyle =0\)
【例題】数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)が\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2a_n-4}{a_n+3}=1\)をみたすとき、極限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\)を求めなさい。
\(\displaystyle b_n=\frac{2a_n-4}{a_n+3}\)とおくと、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=1\)
また、
\(\displaystyle a_n=\frac{3b_n+4}{-b_n+2}\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3b_n+4}{-b_n+2}=\frac{3・1+4}{-1+2}=7\)