【微分積分】1-3-2 単調数列の収束性｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「単調数列の収束性」について、基礎からわかりやすく解説します。単調増加・単調減少数列が有界である場合の収束性や、ネイピア数を例にした理解方法を例題を通して確認できます。
単調数列の収束条件とネイピア数の例
【有界な単調数列の収束性】
(1)上に有界な単調増加数列は収束する。
(2)下に有界な単調減少数列は収束する。
【ネイピア数】
\(\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
とおき、これをネイピア数(Napier数)という。その近似値は
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\approx2.718281828\)
であることが知られている。
【例題】次の数列の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n\)
\(m=2n\)とおくと、\(n\to\infty\)のとき\(m\to\infty\)なので、
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{\frac{m}{2}}\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left\{\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right\}^{\frac{1}{2}}\)
\(=e^{\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{e}\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{\frac{m}{2}}\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left\{\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right\}^{\frac{1}{2}}\)
\(=e^{\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{e}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{-n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n\)
\(m=n-1\)とおくと、\(n\to\infty\)のとき\(m\to\infty\)なので、
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m+1}\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\left(1+\frac{1}{m}\right)\)
\(=e・1\)
\(=e\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n\)
\(m=n-1\)とおくと、\(n\to\infty\)のとき\(m\to\infty\)なので、
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m+1}\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\left(1+\frac{1}{m}\right)\)
\(=e・1\)
\(=e\)
(3)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
\(m=n+1\)とおくと、\(n\to\infty\)のとき\(m\to\infty\)なので、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\left(1+\frac{1}{m}\right)^{-1}\)
\(=e・1\)
\(=e\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
\(=e・e\)
\(=e^2\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
\(m=n+1\)とおくと、\(n\to\infty\)のとき\(m\to\infty\)なので、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\left(1+\frac{1}{m}\right)^{-1}\)
\(=e・1\)
\(=e\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
\(=e・e\)
\(=e^2\)
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