【微分積分】2-3-4 双曲線関数｜問題集

\(a=\sinh^{-1}x\)とおくと、
\(\displaystyle x=\sinh a=\frac{e^a-e^{-a}}{2}\)
\(b=e^a\)とおくと、
\(\displaystyle 2x=b-\frac{1}{b}\)
\(b^2-2bx-1=0\)
\(b=x\pm\sqrt{x^2+1}\)
\(b>0\)より、
\(b=x+\sqrt{x^2+1}\)
\(e^a=x+\sqrt{x^2+1}\)
よって、
\(\sinh^{-1}x=a=\log(x+\sqrt{x^2+1})\)

\(a=\cosh^{-1}x\)とおくと、
\(\displaystyle x=\cosh a=\frac{e^a+e^{-a}}{2}\)
\(b=e^a\)とおくと、
\(\displaystyle 2x=b+\frac{1}{b}\)
\(b^2-2bx+1=0\)
\(b=x\pm\sqrt{x^2-1}\)
\(b>1\)より、
\(b=x+\sqrt{x^2-1}\)
\(e^a=x+\sqrt{x^2-1}\)
よって、
\(\cosh^{-1}x=a=\log(x+\sqrt{x^2-1})\)

\(a=\tanh^{-1}x\)とおくと、
\(\displaystyle x=\tanh a=\frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}}\)
\(b=e^a\)とおくと、
\(\displaystyle b^2=\frac{1+x}{1-x}\)
\(b>0\)より、
\(\displaystyle b=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle e^a=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}\)
よって、
\(\displaystyle \tanh^{-1}x=a=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)

\(a=\coth^{-1}x\)とおくと、
\(\displaystyle x=\coth a=\frac{e^a+e^{-a}}{e^a-e^{-a}}\)
\(b=e^a\)とおくと、
\(\displaystyle b^2=\frac{x+1}{x-1}\)
\(b>0\)より、
\(\displaystyle b=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle e^a=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{2}}\)
よって、
\(\displaystyle \coth^{-1}x=a=\frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\)