【微分積分】4-5-5 無限大比較｜要点まとめ

被積分関数が非有界の場合の無限大比較

【無限大の比較】
\(a\)を実数とし、関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は\(x\to a\)のときに正の無限大または負の無限大に発散するとする。
(1)\(0\)でない極限値
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\gamma(\neq0)\)
が存在するとき、\(x\to a\)のとき\(f(x)\)と\(g(x)\)は同位の無限大という。
(2)極限値
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0\)
であるとき、\(x\to a\)のとき\(g(x)\)は\(f(x)\)より高位の無限大、または\(f(x)\)は\(g(x)\)より低位の無限大という。
片側極限\(x\to a+0\)や\(x\to a-0\)の場合も同様に定義する。

【広義積分の収束・発散の判定法：被積分関数が非有界な場合】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)はともに区間\((a,b]\)において不定積分をもち、\(g(x)>0\)とする。
(1)\(x\to a+0\)で\(f(x)\)と\(g(x)\)が同位の無限大とするとき
・広義積分\(\displaystyle \int_a^bg(x)dx\)が収束すれば、広義積分\(\displaystyle \int_a^bf(x)dx\)も収束する。
・広義積分\(\displaystyle \int_a^bg(x)dx\)が発散すれば、広義積分\(\displaystyle \int_a^bf(x)dx\)も発散する。
(2)\(x\to a+0\)で\(f(x)\)は\(g(x)\)より低位の無限大とするとき
・広義積分\(\displaystyle \int_a^bg(x)dx\)が収束すれば、広義積分\(\displaystyle \int_a^bf(x)dx\)も収束する。
(3)\(x\to a+0\)で\(f(x)\)は\(g(x)\)より高位の無限大とするとき
・広義積分\(\displaystyle \int_a^bg(x)dx\)が発散すれば、広義積分\(\displaystyle \int_a^bf(x)dx\)も発散する。
関数\(f(x)\)が区間\([a,b)\)において不定積分をもつ場合の広義積分\(\displaystyle \int_a^bf(x)dx\)についても同様に成り立つ。