【微分積分】3-5-4 微分法の方程式・不等式｜問題集
1.\(k\)を定数とするとき、方程式\(x^2=ke^x\)の異なる実数解の個数を求めなさい。
\(\displaystyle k=x^2e^{-x}\)
\(\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=0,2\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x}=0\)
増減表にまとめると、
よって、\(f(x)=k\)の異なる実数解および求める実数解の個数は
\(\displaystyle k< 0\)のとき、\(0\)個
\(\displaystyle k=0,k>\frac{4}{e^2}\)のとき、\(1\)個
\(\displaystyle k=\frac{4}{e^2}\)のとき、\(2\)個
\(\displaystyle 0< k< \frac{4}{e^2}\)のとき、\(3\)個
\(\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=0,2\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x}=0\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{4}{e^2}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
\(\displaystyle k< 0\)のとき、\(0\)個
\(\displaystyle k=0,k>\frac{4}{e^2}\)のとき、\(1\)個
\(\displaystyle k=\frac{4}{e^2}\)のとき、\(2\)個
\(\displaystyle 0< k< \frac{4}{e^2}\)のとき、\(3\)個
2.\(x>0\)のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
\(\displaystyle \frac{x}{1+x^2}< \tan^{-1}x< x\)
\(f(x)=x-\tan^{-1}x\)とおくと
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}>0\)
\(f(x)\)は狭義単調増加なので、
\(\tan^{-1}x< x\)
となる。
\(\displaystyle g(x)=\tan^{-1}x-\frac{x}{1+x^2}\)とおくと
\(\displaystyle g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{2x}{(1+x^2)^2}>0\)
\(g(x)\)は狭義単調増加なので、
\(\displaystyle \frac{x}{1+x^2}< \tan^{-1}x\)
となる。
よって、
\(\displaystyle \frac{x}{1+x^2}< \tan^{-1}x< x\)
が成り立つ。
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}>0\)
\(f(x)\)は狭義単調増加なので、
\(\tan^{-1}x< x\)
となる。
\(\displaystyle g(x)=\tan^{-1}x-\frac{x}{1+x^2}\)とおくと
\(\displaystyle g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{2x}{(1+x^2)^2}>0\)
\(g(x)\)は狭義単調増加なので、
\(\displaystyle \frac{x}{1+x^2}< \tan^{-1}x\)
となる。
よって、
\(\displaystyle \frac{x}{1+x^2}< \tan^{-1}x< x\)
が成り立つ。
3.\(a\)を定数とする。方程式\(ax^2-2(a+1)x+3a+1=0\)について次の問いに答えなさい。
(1)異なる実数解の個数を求めなさい。
\(a(x^2-2x+3)=2x-1\)
\(\displaystyle a=\frac{2x-1}{x^2-2x+3}\)
ここで、\(\displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{x^2-2x+3}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{2(x^2-2x+3)-(2x-1)(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2x^2+2x+4}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2(x-2)(x+1)}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=2,-1\)のときになる。
増減表にまとめると、
よって、\(f(x)=a\)の異なる実数解および求める実数解の個数は
\(\displaystyle a< -\frac{1}{2},1< a\)のとき、\(0\)個
\(\displaystyle a=-\frac{1}{2},0,1\)のとき、\(1\)個
\(\displaystyle -\frac{1}{2}< a< 0,0< a< 1\)のとき、\(2\)個
\(\displaystyle a=\frac{2x-1}{x^2-2x+3}\)
ここで、\(\displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{x^2-2x+3}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{2(x^2-2x+3)-(2x-1)(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2x^2+2x+4}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2(x-2)(x+1)}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=2,-1\)のときになる。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(0\) |
\(\displaystyle a< -\frac{1}{2},1< a\)のとき、\(0\)個
\(\displaystyle a=-\frac{1}{2},0,1\)のとき、\(1\)個
\(\displaystyle -\frac{1}{2}< a< 0,0< a< 1\)のとき、\(2\)個
(2)実数解をもち、解がすべて正になるような定数\(a\)の範囲を求めなさい。
\(f(x)=a\)の異なる共有点が\(x>0\)の範囲にあればよいので、
\(0\leqq a\leqq 1\)
\(0\leqq a\leqq 1\)
(3)正と負の解をもつような定数\(a\)の範囲を求めなさい。
\(f(x)=a\)が\(x>0\)と\(x<0\)の両方の範囲にあればよい。
\(\displaystyle f(0)=-\frac{1}{3}\)なので、
\(\displaystyle -\frac{1}{3}< a< 0\)
\(\displaystyle f(0)=-\frac{1}{3}\)なので、
\(\displaystyle -\frac{1}{3}< a< 0\)
(4)実数解をもち、解が全て\(1\)より大きい定数\(a\)の範囲を求めなさい。
\(f(x)=a\)が\(x>1\)の範囲にあればよい。
\(\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}\)なので、
\(\displaystyle \frac{1}{2}< a\leqq 1\)
\(\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}\)なので、
\(\displaystyle \frac{1}{2}< a\leqq 1\)
4.関数\(f(x)=x^4-4x^3-12x^2\)について次の問いに答えなさい。
(1)\(y=f(x)\)のグラフの二重接線(2点で接する接線)を求めなさい。
\(f'(x)=4x^3-12x^2-24x\)
\(y=f(x)\)のグラフの接線は
\(y=f'(t)(x-t)+f(t)\)
\(=(4t^3-12t^2-24t)x-3t^4+8t^3+12t^2\)
\(=(x-t)^2\{x^2+2(t-2)x+3t^2-8t-12\}\)
\(x=t\)以外で重解をもつためには、二次方程式で重解を持たなければならないので、
\(\frac{D}{4}=(t-2)^2-(3t^2-8t-12)\)
\(=-2t^2+12t+16\)
\(=-2(t-4)(t+2)=0\)
\(t=4,-2\)
これを接線方程式に代入すると、
\(y=-32x-64\)
\(y=f(x)\)のグラフの接線は
\(y=f'(t)(x-t)+f(t)\)
\(=(4t^3-12t^2-24t)x-3t^4+8t^3+12t^2\)
\(=(x-t)^2\{x^2+2(t-2)x+3t^2-8t-12\}\)
\(x=t\)以外で重解をもつためには、二次方程式で重解を持たなければならないので、
\(\frac{D}{4}=(t-2)^2-(3t^2-8t-12)\)
\(=-2t^2+12t+16\)
\(=-2(t-4)(t+2)=0\)
\(t=4,-2\)
これを接線方程式に代入すると、
\(y=-32x-64\)
(2)点\((0,a)\)を通る\(y=f(x)\)のグラフの接線の本数を求めなさい。
接線\(y=(4t^3-12t^2-24t)x-3t^4+8t^3+12t^2\)が点\((0,a)\)を通るので
\(a=-3t^4+8t^3+12t^2\)
\(g(t)=-3t^4+8t^3+12t^2\)とおくと
\(g'(t)=-12t^3+24t^2+24t=-12t(t^2-2t-2)\)
\(g'(x)=0\)となるのは、\(x=0,1\pm\sqrt{3}\)のときになる。
増減表にまとめると、
よって、\(g(x)=a\)の異なる実数解および求める実数解の個数は
\(a>44+24\sqrt{3}\)のとき、\(0\)本
\(a=44+24\sqrt{3},-64\)のとき、\(1\)本
\(a< -64,-64< a< 0,44-24\sqrt{3}< a< 44+24\sqrt{3}\)のとき、\(2\)本
\(a=44-24\sqrt{3},0\)のとき、\(3\)本
\(0< a< 44-24\sqrt{3}\)のとき、\(4\)本
\(a=-3t^4+8t^3+12t^2\)
\(g(t)=-3t^4+8t^3+12t^2\)とおくと
\(g'(t)=-12t^3+24t^2+24t=-12t(t^2-2t-2)\)
\(g'(x)=0\)となるのは、\(x=0,1\pm\sqrt{3}\)のときになる。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(1-\sqrt{3}\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1+\sqrt{3}\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(g(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(44-24\sqrt{3}\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(44+24\sqrt{3}\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
\(a>44+24\sqrt{3}\)のとき、\(0\)本
\(a=44+24\sqrt{3},-64\)のとき、\(1\)本
\(a< -64,-64< a< 0,44-24\sqrt{3}< a< 44+24\sqrt{3}\)のとき、\(2\)本
\(a=44-24\sqrt{3},0\)のとき、\(3\)本
\(0< a< 44-24\sqrt{3}\)のとき、\(4\)本
5.次の問いに答えなさい。
(1)\(x+y=40\)のとき、\(xy\)の最大値を求めなさい。
\(x+y=40\)より、\(y=40-x\)
\(xy=x(40-x)\)
\(f(x)=x(40-x)\)とおくと、
\(f'(x)=-2x+40\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=20\)のときになる。
増減表にまとめると、
よって、
\(x=20,y=20\)のとき、\(xy=400\)
\(xy=x(40-x)\)
\(f(x)=x(40-x)\)とおくと、
\(f'(x)=-2x+40\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=20\)のときになる。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(20\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(400\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
\(x=20,y=20\)のとき、\(xy=400\)
(2)正方形の\(2\)頂点が\(y=4-x^2\)上にあり、残りの\(2\)頂点が\(x\)軸上にあるとき、正方形の面積の最大値を求めなさい。
\(x\)軸上の正の点を\(x\)とすると、
正方形の底辺は\(2x\)、高さは\(4-x^2\)となる。
面積\(f(x)=2x(4-x^2)\)とおくと、
\(f'(x)=-6x^2+8\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\)のときになる。
増減表にまとめると、
よって、
面積の最大値は\(\displaystyle \frac{32\sqrt{3}}{9}\)
正方形の底辺は\(2x\)、高さは\(4-x^2\)となる。
面積\(f(x)=2x(4-x^2)\)とおくと、
\(f'(x)=-6x^2+8\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\)のときになる。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\) | \(\cdots\) | \(2\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{32\sqrt{3}}{9}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
面積の最大値は\(\displaystyle \frac{32\sqrt{3}}{9}\)
(3)半径\(4\)の円に内接する正方形の面積の最大値を求めなさい。
\(x\)軸上の正の点を\(x\)とすると、
\(y\)軸上の正の点は\(\sqrt{16-x^2}\)となる。
すなわち、正方形の底辺は\(2x\)、高さは\(2\sqrt{16-x^2}\)
面積\(f(x)=4x\sqrt{16-x^2}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{-12x^2+64}{\sqrt{16-x^2}}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}}\)のときになる。
増減表にまとめると、
よって、
面積の最大値は\(\displaystyle \frac{64\sqrt{2}}{3}\)
\(y\)軸上の正の点は\(\sqrt{16-x^2}\)となる。
すなわち、正方形の底辺は\(2x\)、高さは\(2\sqrt{16-x^2}\)
面積\(f(x)=4x\sqrt{16-x^2}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{-12x^2+64}{\sqrt{16-x^2}}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}}\)のときになる。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\) | \(\cdots\) | \(4\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{64\sqrt{2}}{3}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
面積の最大値は\(\displaystyle \frac{64\sqrt{2}}{3}\)
(4)楕円\(x^2+2y^2=2\)と直線\(x+y=6\)の最短距離を求めなさい。
\(x^2+2y^2=2\)の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+4y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{2y}\)
これが\(y=6-x\)と平行になるとき、
\(\displaystyle -\frac{x}{2y}=-1\)
\(x=2y\)
これを\(x^2+2y^2=2\)に代入すると、
\((2y)^2+2y^2=2\)
\(\displaystyle y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\)
よって、点\(\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)と\(y=6-x\)の距離は
\(\displaystyle d=\frac{|\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-6|}{\sqrt{2}}=\frac{6-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle 2x+4y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{2y}\)
これが\(y=6-x\)と平行になるとき、
\(\displaystyle -\frac{x}{2y}=-1\)
\(x=2y\)
これを\(x^2+2y^2=2\)に代入すると、
\((2y)^2+2y^2=2\)
\(\displaystyle y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\)
よって、点\(\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)と\(y=6-x\)の距離は
\(\displaystyle d=\frac{|\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-6|}{\sqrt{2}}=\frac{6-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
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