【微分積分】5-4-3 整級数展開｜要点まとめ

無限等比級数の公式より、\(|t|<1\)のとき
\(\displaystyle \frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t)^n\)
両辺を積分すると、
\(\displaystyle \int_0^x\frac{1}{1+t}dt=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^ndt\)
\(\displaystyle [\log|1+t|]_0^x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x(-1)^nt^ndt\)
\(\displaystyle \log(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\)
\(\displaystyle \log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\)

無限等比級数の公式より、\(|t|<1\)のとき
\(\displaystyle \frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t^2)^n\)
両辺を積分すると、
\(\displaystyle \int_0^x\frac{1}{1+t^2}dt=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^{2n}dt\)
\(\displaystyle [\tan^{-1}t]_0^x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x(-1)^nt^{2n}dt\)
\(\displaystyle \tan^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\)