【微分積分】5-4-3 整級数展開｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で重要な「整級数展開」について整理します。関数を冪級数として表す基本的な考え方を確認し、代表的な整級数展開の手法や計算の流れを中心にわかりやすく解説します。既知の冪級数を利用した展開方法や、収束半径を意識した扱い方を理解し、解析学の基礎となる関数展開の考え方を身につけていきましょう。
整級数展開
【例題】次のマクローリン展開を求めなさい。
(1)\(\log(1+x)\)
無限等比級数の公式より、\(|t|<1\)のとき
\(\displaystyle \frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t)^n\)
両辺を積分すると、
\(\displaystyle \int_0^x\frac{1}{1+t}dt=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^ndt\)
\(\displaystyle [\log|1+t|]_0^x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x(-1)^nt^ndt\)
\(\displaystyle \log(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\)
\(\displaystyle \log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\)
\(\displaystyle \frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t)^n\)
両辺を積分すると、
\(\displaystyle \int_0^x\frac{1}{1+t}dt=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^ndt\)
\(\displaystyle [\log|1+t|]_0^x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x(-1)^nt^ndt\)
\(\displaystyle \log(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\)
\(\displaystyle \log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\)
(2)\(\tan^{-1}x\)
無限等比級数の公式より、\(|t|<1\)のとき
\(\displaystyle \frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t^2)^n\)
両辺を積分すると、
\(\displaystyle \int_0^x\frac{1}{1+t^2}dt=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^{2n}dt\)
\(\displaystyle [\tan^{-1}t]_0^x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x(-1)^nt^{2n}dt\)
\(\displaystyle \tan^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\)
\(\displaystyle \frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t^2)^n\)
両辺を積分すると、
\(\displaystyle \int_0^x\frac{1}{1+t^2}dt=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^{2n}dt\)
\(\displaystyle [\tan^{-1}t]_0^x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x(-1)^nt^{2n}dt\)
\(\displaystyle \tan^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\)
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