【微分積分】3-6-1 テイラーの定理｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「テイラーの定理」と「マクローリンの定理」をわかりやすく解説します。定義や証明、計算例・応用問題を通して、展開の仕組みと近似計算の方法を体系的に学べます。
マクローリンの定理とは
【マクローリンの定理】
関数\(f(x)\)は\(0\)を含む開区間\(I\)上で\(n\)回微分可能とする。このとき、各\(x\in I\)に対してある\(\theta(0<\theta<1)\)が存在して
\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n\)
が成り立つ。ここで、
\(\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n\)
とおき、ラグランジュの剰余項という。
【マクローリン級数】
次の級数が成り立つ。
(1)\(\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\)
(2)\(\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1!}+\cdots\)
(3)\(\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n!}+\cdots\)
(4)\(\displaystyle \log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots\)
(5)\(\displaystyle (1+x)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots\)
\(\displaystyle e^x=\sum_{k=0}^{3}\frac{1}{k!}x^k+\frac{e^{\theta x}}{4!}x^4\)
\(\displaystyle =1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{e^{\theta x}}{4!}x^4\)
\(x=0.1\)を代入すると、
\(\displaystyle e^{0.1}=1+0.1+\frac{0.01}{2}+\frac{0.001}{6}+\frac{0.1^4}{24}e^{0.1\theta}\)
\(\displaystyle =1.105+\frac{0.001}{6}+\frac{0.1^4}{24}e^{0.1\theta}\)
\(\displaystyle \frac{0.001}{6}\)において
\(\displaystyle 0.000166<\frac{0.001}{6}<0.000167\)
\(\displaystyle \frac{0.1^4}{24}e^{0.1\theta}\)において、\(0<\theta<1,e<3\)より
\(\displaystyle 0<\frac{0.1^4}{24}e^{0.1\theta}<\frac{0.1^4}{24}e^{0.1}<\frac{0.1^4}{24}e\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ <\frac{0.1^4}{8}=0.0000125\)
すなわち、
\(1.105+0.000166+0< e^{0.1}\)
\(\ \ \ \ \ < 1.105+0.000167+0.0000125\)
\(1.105166< e^{0.1}< 1.1051795\)
よって、
\(e^{0.1}\fallingdotseq1.1051\)
テイラーの定理とは
【テイラーの定理】
関数\(f(x)\)は点\(a\)を含む開区間\(I\)上で\(n\)回微分可能とする。このとき、各\(x\in I\)に対してある\(\theta(0<\theta<1)\)が存在して
\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\frac{f^{(n)}\{a+\theta(x-a)\}}{n!}(x-a)^n\)
が成り立つ。ここで、
\(\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n)}\{a+\theta(x-a)\}}{n!}(x-a)^n\)
とおき、ラグランジュの剰余項という。
【一般二項係数】
一般二項係数\(\begin{pmatrix}\alpha \\ k \end{pmatrix}\)を
\(\displaystyle \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix}=1,\begin{pmatrix}\alpha \\ k \end{pmatrix}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}\)
で定義する。これは二項係数\({}_{n}\mathrm{C}_k\)の拡張になっており
\(\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}={}_{n}\mathrm{C}_k\)
が成り立つ。