【微分積分】4-5-4 比較判定法｜問題集
1.次の広義積分の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x+x^2}}dx\)
\(0< x\leqq1\)のとき、
\(\displaystyle 0< \frac{1}{\sqrt{x+x^2}}< \frac{1}{\sqrt{x}}\)
広義積分\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to0+}\int_t^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to0+}[2\sqrt{x}]_t^1\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to0+}(2-2\sqrt{t})\)
\(\displaystyle =2\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x+x^2}}dx\)は収束する。
\(\displaystyle 0< \frac{1}{\sqrt{x+x^2}}< \frac{1}{\sqrt{x}}\)
広義積分\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to0+}\int_t^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to0+}[2\sqrt{x}]_t^1\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to0+}(2-2\sqrt{t})\)
\(\displaystyle =2\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x+x^2}}dx\)は収束する。
(2)\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1-x^4}dx\)
\(0\leqq x< 1\)のとき、
\(\displaystyle 0< 1+x< 2,\ 0< 1+x^2< 2\)
\(\displaystyle \frac{1}{1-x^4}=\frac{1}{(1+x)(1-x)(1+x^2)}\)
\(\displaystyle \ \ \ >\frac{1}{2(1-x)・2}=\frac{1}{4(1-x)}>0\)
広義積分\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{4(1-x)}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to1-}\int_0^t\frac{1}{4(1-x)}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to1-}\left[-\frac{1}{4}\log(1-x)\right]_0^t\)
\(\displaystyle =\infty\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{4(1-x)}dx\)は発散するので、
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1-x^4}dx\)は発散する。
\(\displaystyle 0< 1+x< 2,\ 0< 1+x^2< 2\)
\(\displaystyle \frac{1}{1-x^4}=\frac{1}{(1+x)(1-x)(1+x^2)}\)
\(\displaystyle \ \ \ >\frac{1}{2(1-x)・2}=\frac{1}{4(1-x)}>0\)
広義積分\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{4(1-x)}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to1-}\int_0^t\frac{1}{4(1-x)}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to1-}\left[-\frac{1}{4}\log(1-x)\right]_0^t\)
\(\displaystyle =\infty\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{4(1-x)}dx\)は発散するので、
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1-x^4}dx\)は発散する。
(3)\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x^2\cos x}{x^4+1}dx\)
\(\displaystyle =\int_0^1\frac{x^2\cos x}{x^4+1}dx+\int_1^\infty\frac{x^2\cos x}{x^4+1}dx\)
第\(1\)項は定積分なので収束する。
\(x\geqq1\)のとき、
\(\displaystyle \left|\frac{x^2\cos x}{x^4+1}\right|\leqq \frac{x^2}{x^4+1}< \frac{x^2}{x^4}=\frac{1}{x^2}\)
広義積分\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{1}{x^2}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^t\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{t}+1\right)\)
\(\displaystyle =1\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x^2\cos x}{x^4+1}dx\)は収束する。
第\(1\)項は定積分なので収束する。
\(x\geqq1\)のとき、
\(\displaystyle \left|\frac{x^2\cos x}{x^4+1}\right|\leqq \frac{x^2}{x^4+1}< \frac{x^2}{x^4}=\frac{1}{x^2}\)
広義積分\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{1}{x^2}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^t\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{t}+1\right)\)
\(\displaystyle =1\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x^2\cos x}{x^4+1}dx\)は収束する。
(4)\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{x^2+1}{\sqrt{x^6+1}}dx\)
\(x\geqq 1\)のとき、
\(\displaystyle x^2+1> x^2,\ \sqrt{x^6+1}\leqq\sqrt{x^6+x^6}=\sqrt{2}x^3\)
\(\displaystyle \frac{x^2+1}{\sqrt{x^6+1}}>\frac{x^2}{\sqrt{2}x^3}=\frac{1}{\sqrt{2}x}>0\)
広義積分\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{2}x}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{1}{\sqrt{2}x}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\frac{1}{\sqrt{2}}[\log t]_0^t\)
\(\displaystyle =\infty\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{2}x}dx\)は発散するので、
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{x^2+1}{\sqrt{x^6+1}}dx\)は発散する。
\(\displaystyle x^2+1> x^2,\ \sqrt{x^6+1}\leqq\sqrt{x^6+x^6}=\sqrt{2}x^3\)
\(\displaystyle \frac{x^2+1}{\sqrt{x^6+1}}>\frac{x^2}{\sqrt{2}x^3}=\frac{1}{\sqrt{2}x}>0\)
広義積分\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{2}x}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_1^t\frac{1}{\sqrt{2}x}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\frac{1}{\sqrt{2}}[\log t]_0^t\)
\(\displaystyle =\infty\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{2}x}dx\)は発散するので、
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{x^2+1}{\sqrt{x^6+1}}dx\)は発散する。
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