【微分積分】6-1-4 2変数関数の累次極限｜要点まとめ

\(\displaystyle \lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}f(x,y)\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{y}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{y\to0}0\)
\(\displaystyle =0\)

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}f(x,y)\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}x\cos\frac{1}{y}\right)\)
\(\displaystyle \lim_{y\to0}x\cos\frac{1}{y}\)は振動する。
すなわち、\(\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}f(x,y)\right)\)は存在しない。

\(y\neq0\)のとき
\(\displaystyle |f(x,y)|=\left|x\cos\frac{1}{y}\right|\leqq|x|\)
\(y=0\)のとき
\(\displaystyle |f(x,0)|=0\leqq|x|\)
よって、はさみうちの定理より、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\)