【微分積分】1-3-3 漸化式と区間縮小法｜問題集
1.次の漸化式で定まる数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}\)
\(\alpha=\sqrt{\alpha+2}\)を解くと、
\(\alpha^2=\alpha+2\)
\((\alpha-2)(\alpha+1)=0\)
\(\alpha=2,-1\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は上に有界な単調増加数列なので、
\(a_1\leqq a_n\)
\(1\leqq\alpha\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=2\)
\(\alpha^2=\alpha+2\)
\((\alpha-2)(\alpha+1)=0\)
\(\alpha=2,-1\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は上に有界な単調増加数列なので、
\(a_1\leqq a_n\)
\(1\leqq\alpha\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=2\)
(2)\(\displaystyle a_1=2,a_{n+1}=\sqrt{2a_n+8}\)
\(\alpha=\sqrt{2\alpha+8}\)を解くと、
\(\alpha^2=2\alpha+8\)
\((\alpha-4)(\alpha+2)=0\)
\(\alpha=4,-2\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は上に有界な単調増加数列なので、
\(a_1\leqq a_n\)
\(2\leqq\alpha\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=4\)
\(\alpha^2=2\alpha+8\)
\((\alpha-4)(\alpha+2)=0\)
\(\alpha=4,-2\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は上に有界な単調増加数列なので、
\(a_1\leqq a_n\)
\(2\leqq\alpha\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=4\)
(3)\(\displaystyle a_1=\frac{3}{2},a_{n+1}=\frac{a_n^3+6}{7}\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{\alpha^3+6}{7}\)を解くと、
\(7\alpha=\alpha^3+6\)
\((\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha+3)=0\)
\(\alpha=1,2,-3\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は下に有界な単調減少数列なので、
\(a_n\leqq a_1\)
\(\displaystyle \alpha\leqq\frac{3}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1\)
\(7\alpha=\alpha^3+6\)
\((\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha+3)=0\)
\(\alpha=1,2,-3\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は下に有界な単調減少数列なので、
\(a_n\leqq a_1\)
\(\displaystyle \alpha\leqq\frac{3}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1\)
(4)\(\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{4a_n-a_n^2}\)
\(\alpha=\sqrt{4\alpha-\alpha^2}\)を解くと、
\(\alpha^2=4\alpha-\alpha^2\)
\(2\alpha(\alpha-2)=0\)
\(\alpha=0,2\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は上に有界な単調増加数列なので、
\(a_1\leqq a_n\)
\(1\leqq\alpha\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=2\)
\(\alpha^2=4\alpha-\alpha^2\)
\(2\alpha(\alpha-2)=0\)
\(\alpha=0,2\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は上に有界な単調増加数列なので、
\(a_1\leqq a_n\)
\(1\leqq\alpha\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=2\)
(5)\(\displaystyle a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)\)を解くと、
\(\alpha^2=1\)
\((\alpha-1)(\alpha+1)=0\)
\(\alpha=1,-1\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は下に有界な単調減少数列なので、
\(a_n\leqq a_1\)
\(\alpha\leqq2\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1\)
\(\alpha^2=1\)
\((\alpha-1)(\alpha+1)=0\)
\(\alpha=1,-1\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は下に有界な単調減少数列なので、
\(a_n\leqq a_1\)
\(\alpha\leqq2\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1\)
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