【微分積分】5-3-1 一様収束と判定法｜要点まとめ
このページでは、関数列・関数級数の収束を理解するうえで重要な「一様収束」と、そのときに保たれる関数の性質について整理します。一様収束の定義、各点収束との違い、連続性・積分・微分の交換が成立する理由、さらに代表的な判定法であるワイエルシュトラスのM判定法まで、解析学で押さえておくべき要点を例とともにわかりやすく解説します。大学数学で関数列の収束を正確に扱うための基礎理解を深めていきましょう。
ワイエルシュトラスのM判定法（関数列・関数級数の収束判定）
【関数項級数】
関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)に対して、\(\displaystyle S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)\)とおく。関数列\(\{S_n\}_{n=1}^\infty\)が\(I\)上で各点収束するとき、極限関数を
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)\ (x\in I)\)
とおき、\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)の関数項級数という。
また、\(\displaystyle T_n(x)=\sum_{k=1}^{n}|f_k(x)|\)とおくとき、関数列\(\{T_n\}_{n=1}^\infty\)が各点収束するとき、関数項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\)は絶対収束するという。
【関数項級数の一様収束】
関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)に対して、部分和\(S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)\)のなす関数列\(\{S_n\}_{n=1}^\infty\)が\(I\)上で一様収束するとき、関数項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\)は\(I\)上で一様収束するという。
【ワイエルシュトラスのM判定法】
関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)に対して
\(\displaystyle |f_n(x)|\leqq M_n\ (x\in I),\ \ \ \sum_{n=1}^{\infty}M_n:\)優級数
となる数列\(\{M_n\}_{n=1}^\infty\)が存在するとき、関数項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\)は\(I\)上で絶対収束かつ一様収束する。
【例題】次の関数項級数が\(\mathbb{R}\)上で一様収束するか調べなさい。