【微分積分】3-1-1 微分係数の定義｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「微分係数の定義」について、要点をわかりやすくまとめています。微分係数の考え方や定義式、導関数との関係を例題とともに丁寧に解説。微分の基礎をしっかり理解したい人に役立つ内容です。
微分係数の定義
【微分係数】
関数\(f(x)\)が点\(a\)の近傍で定義されていて、極限値
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
が存在するとき、この極限値を\(f(x)\)の点\(a\)における微分係数といい、
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
で表す。このとき、\(f(x)\)は点\(a\)で微分可能という。
【微分可能な関数の連続性】
関数\(f(x)\)が点\(a\)で微分可能ならば、\(f(x)\)は点\(a\)で連続である。
【接線】
関数\(f(x)\)は点\(a\)で微分可能とする。このとき、直線
\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
を曲線\(y=f(x)\)上の点\((a,f(a))\)における接線という。
【右微分・左微分】
関数\(f(x)\)に対して、極限値
\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
が存在するとき、この極限値を\(f(x)\)の点\(a\)における右微分係数といい
\(\displaystyle f'_+(a)=\lim_{x\to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
で表す。このとき、\(f(x)\)は点\(a\)で右微分可能という。
また、関数\(f(x)\)に対して、極限値
\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
が存在するとき、この極限値を\(f(x)\)の点\(a\)における左微分係数といい
\(\displaystyle f'_-(a)=\lim_{x\to a-0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
で表す。このとき、\(f(x)\)は点\(a\)で左微分可能という。
【右微分・左微分と微分可能性】
関数\(f(x)\)が点\(a\)で微分可能であるための必要十分条件は
(1)\(f(x)\)が点\(a\)で右微分可能かつ左微分可能である。
(2)\(f'_+(a)=f'_-(a)\)が成り立つ。
の両方が成り立つことである。
【例題】次の関数は\(x=0\)で微分可能か答えなさい。
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{h\to-0}\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\lim_{h\to-0}\frac{|h|}{h}=-1\)
よって、\(f'_+(0)\neq f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能ではない。