【微分積分】1-4-1 極限の公式｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「極限の公式」について、要点をわかりやすくまとめています。チェザロ平均や加重平均の極限、そして \(n^{1/n}\) の極限公式など、重要な公式の意味と導出過程を例題を交えて丁寧に解説。極限の性質を体系的に理解したい人におすすめの内容です。
チェザロ平均とその極限の性質
【チェザロ平均】
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)が収束し、その極限値を\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a\)とするとき
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a\)
が成り立つ。これは\(a=\pm\infty\)の場合にも成り立つ。
加重平均（第二チェザロ平均）の極限
【加重平均の極限】
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)が収束し、その極限値を\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a\)とするとき
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n}{1+2+3+\cdots+n}=a\)
が成り立つ。
nの1/n乗の極限公式とその証明
【\(n^{\frac{1}{n}}\)の極限公式】
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\)
【例題】次の極限を求めなさい。
\(1< (n^2+1)^{\frac{1}{n}}\leqq (2n^2)^{\frac{1}{n}}\)
\(1< (n^2+1)^{\frac{1}{n}}\leqq 2^{\frac{1}{n}}・\sqrt[n]{n}^2\)
ここで、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\frac{1}{n}}・\sqrt[n]{n}^2=1・1^2=1\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(n^2+1)^{\frac{1}{n}}=1\)