【微分積分】7-6-1 2変数関数の極値定義｜問題集
1.次の関数の停留点を求めなさい。
(1)\(f(x,y)=2x^2+y^2-xy-7y\)
\(f_x(x,y)=4x-y=0\)
\(f_y(x,y)=2y-x-7=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=1,y=4\)
よって、停留点は\((1,4)\)
\(f_y(x,y)=2y-x-7=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=1,y=4\)
よって、停留点は\((1,4)\)
(2)\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x}{y^2}+xy\)
\(\displaystyle f_x(x,y)=\frac{1}{y^2}+y=0\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=-\frac{2x}{y^3}+x=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=-1\)
よって、停留点は\((0,-1)\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=-\frac{2x}{y^3}+x=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=-1\)
よって、停留点は\((0,-1)\)
(3)\(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\)
\(f_x(x,y)=3x^2-3y=0\)
\(f_y(x,y)=3y^2-3x=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)
\(x=1,y=1\)
よって、停留点は\((0,0),(1,1)\)
\(f_y(x,y)=3y^2-3x=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)
\(x=1,y=1\)
よって、停留点は\((0,0),(1,1)\)
(4)\(f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)\)
\(f_x(x,y)=4x(x^2+y^2-1)=0\)
\(f_y(x,y)=4y(x^2+y^2+1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,\pm1,y=0\)
よって、停留点は\((0,0),(1,0),(-1,0)\)
\(f_y(x,y)=4y(x^2+y^2+1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,\pm1,y=0\)
よって、停留点は\((0,0),(1,0),(-1,0)\)
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