【微分積分】7-6-2 2次形式｜問題集
1.次の関数の停留点の定値性を答えなさい。
(1)\(f(x,y)=2x^2+y^2-xy-7y\)
\(f_{xx}=4\)
\(f_{yy}=2\)
\(f_{xy}=-1\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=7\)
関数の停留点は\((1,4)\)なので、
・\((1,4)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}<0\)より、正定値
\(f_{yy}=2\)
\(f_{xy}=-1\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=7\)
関数の停留点は\((1,4)\)なので、
・\((1,4)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}<0\)より、正定値
(2)\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x}{y^2}+xy\)
\(f_{xx}=0\)
\(\displaystyle f_{yy}=\frac{6x}{y^4}\)
\(\displaystyle f_{xy}=-\frac{2}{y^3}+1\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=-9\)
関数の停留点は\((0,-1)\)なので、
・\((0,-1)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点
\(\displaystyle f_{yy}=\frac{6x}{y^4}\)
\(\displaystyle f_{xy}=-\frac{2}{y^3}+1\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=-9\)
関数の停留点は\((0,-1)\)なので、
・\((0,-1)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点
(3)\(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\)
\(f_{xx}=6x\)
\(f_{yy}=6y\)
\(f_{xy}=-3\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=36xy-9\)
関数の停留点は\((0,0),(1,1)\)なので、
・\((0,0)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点 ・\((1,1)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}<0\)より、正定値
\(f_{yy}=6y\)
\(f_{xy}=-3\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=36xy-9\)
関数の停留点は\((0,0),(1,1)\)なので、
・\((0,0)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点 ・\((1,1)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}<0\)より、正定値
(4)\(f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)\)
\(f_{xx}=12x^2+4y^2-4\)
\(f_{yy}=4x^2+12y^2+4\)
\(f_{xy}=8xy\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=16\{(3(x^2+y^2)^2+2(x^2-y^2)-1\}\)
関数の停留点は\((0,0),(1,0),(-1,0)\)なので、
・\((0,0)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点
・\((1,0)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
・\((-1,0)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
\(f_{yy}=4x^2+12y^2+4\)
\(f_{xy}=8xy\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=16\{(3(x^2+y^2)^2+2(x^2-y^2)-1\}\)
関数の停留点は\((0,0),(1,0),(-1,0)\)なので、
・\((0,0)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点
・\((1,0)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
・\((-1,0)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
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