【微分積分】7-6-1 2変数関数の極値定義｜要点まとめ

2変数関数の極値の定義

【極値】
関数\(f(x,y)\)に対して、ある\(\delta>0\)が存在して
\(f(x,y)> f(a,b)\)
\(((x,y)\in U_\delta((a,b)),(x,y)\neq(a,b))\)
となるとき、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で極小であるといい、\(f(a,b)\)を極小値という。

また、ある\(\delta>0\)が存在して
\(f(x,y)< f(a,b)\)
\(((x,y)\in U_\delta((a,b)),(x,y)\neq(a,b))\)
となるとき、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で極大であるといい、\(f(a,b)\)を極大値という。

さらに、極大値と極小値をまとめて極値という。

【広義の極値】
関数\(f(x,y)\)に対して、ある\(\delta>0\)が存在して
\(f(x,y)\geqq f(a,b)\)
\(((x,y)\in U_\delta((a,b)),(x,y)\neq(a,b))\)
となるとき、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で広義の極小であるといい、\(f(a,b)\)を広義の極小値という。

また、ある\(\delta>0\)が存在して
\(f(x,y)\leqq f(a,b)\)
\(((x,y)\in U_\delta((a,b)),(x,y)\neq(a,b))\)
となるとき、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で広義の極大であるといい、\(f(a,b)\)を広義の極大値という。

【停留点】
関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で極値をとり、かつ偏微分可能であるとする。このとき、
\(f_x(a,b)=f_y(a,b)=0\)
が成り立ち、点\((a,b)\)を\(f(x,y)\)の停留点（臨界点）という。
また、停留点であるが、極値でない点を鞍点という。