【微分積分】7-6-2 2次形式｜要点まとめ
このページでは、2次形式の定義や正定値・負定値の概念、および判別式を用いた定値性の判定条件について整理します。例題を通して停留点における2次形式の定値性の調べ方も解説します。
2次形式の定義
【2次形式と正定値・負定値】
\(p,q,r\in\mathbb{R}\)とするとき、\(X\)と\(Y\)の同次2次式
\(F(X,Y)=pX^2+2qXY+rY^2\)
を2次形式という。
\(F(X,Y)>0\ \ ((X,Y)\neq(0,0))\)
が成り立つとき、\(F(X,Y)\)は正定値であるという。
\(F(X,Y)<0\ \ ((X,Y)\neq(0,0))\)
が成り立つとき、\(F(X,Y)\)は負定値であるという。
【2次形式の定理】
\(F(X,Y)=pX^2+2qXY+rY^2\)を2次形式とする。
(1)\(p>0,pr-q^2>0\)ならば、\(F(X,Y)\)は正定値である。
(2)\(p<0,pr-q^2>0\)ならば、\(F(X,Y)\)は負定値である。
(3)\(pr-q^2<0\)ならば、\(F(X,Y)\)は正の値と負の値をとる。
【例題】次の関数の停留点の定値性を答えなさい。
(1)\(f(x,y)=2x-x^2-y^2\)
\(f_{xx}=-2\)
\(f_{yy}=-2\)
\(f_{xy}=0\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=4\)
関数の停留点は\((1,0)\)なので、
・\((1,0)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}<0\)より、負定値
\(f_{yy}=-2\)
\(f_{xy}=0\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=4\)
関数の停留点は\((1,0)\)なので、
・\((1,0)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}<0\)より、負定値
(2)\(f(x,y)=x^2-6y^2+y^3\)
\(f_{xx}=2\)
\(f_{yy}=-12+6y\)
\(f_{xy}=0\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=12(y-2)\)
関数の停留点は\((0,0),(0,4)\)なので、
・\((0,0)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点
・\((0,4)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
\(f_{yy}=-12+6y\)
\(f_{xy}=0\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=12(y-2)\)
関数の停留点は\((0,0),(0,4)\)なので、
・\((0,0)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点
・\((0,4)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
(3)\(f(x,y)=x^3-3x+y^2\)
\(f_{xx}=6x\)
\(f_{yy}=2\)
\(f_{xy}=0\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=12x\)
関数の停留点は\((-1,0),(1,0)\)なので、
・\((-1,0)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点
・\((1,0)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
\(f_{yy}=2\)
\(f_{xy}=0\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=12x\)
関数の停留点は\((-1,0),(1,0)\)なので、
・\((-1,0)\)のとき
\(D<0\)より、鞍点
・\((1,0)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
(4)\(f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-3y\)
\(f_{xx}=2\)
\(f_{yy}=2\)
\(f_{xy}=1\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=3\)
関数の停留点は\((1,1)\)なので、
・\((1,1)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
\(f_{yy}=2\)
\(f_{xy}=1\)
判別式\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)より、\(D=3\)
関数の停留点は\((1,1)\)なので、
・\((1,1)\)のとき
\(D>0\)かつ\(f_{xx}>0\)より、正定値
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