【微分積分】7-6-3 ヘッセ行列を用いた極大・極小の判定法｜要点まとめ
このページでは、2変数関数のヘッセ行列およびヘッシアン（行列式）の定義と計算方法、ならびに停留点における極大・極小の判定条件についてわかりやすく解説・整理します。
ヘッセ行列
【ヘッセ行列】
関数\(f(x,y)\)が領域\(D\)上で\(C^2\)級であるとき、行列
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{pmatrix}\)
を\(f(x,y)\)のヘッセ行列という。\(f(x,y)\)が\(C^2\)級ならば、\(f_{xy}=f_{yx}\)であるから、ヘッセ行列は対称行列となる。
また、ヘッセ行列の行列式
\(\det H_f(x,y)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^2\)
をヘッシアンという。
【例題】次の関数のヘッセ行列\(H_f(x,y)\)とヘッシアン\(\det H_f(x,y)\)を答えなさい。
\(\det H_f(x,y)=4\)
\(\det H_f(x,y)=-24+12y\)
\(\det H_f(x,y)=12x\)
\(\det H_f(x,y)=3\)
極値を取るための十分条件
【極値を取るための十分条件】
関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)の近傍上で\(C^2\)級で、さらに点\((a,b)\)は\(f(x,y)\)の停留点とする。このとき、
(1)\(\det H_f(a,b)>0,f_{xx}(a,b)>0\)ならば、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で極小となる。
(2)\(\det H_f(a,b)>0,f_{xx}(a,b)<0\)ならば、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で極大となる。
(3)\(\det H_f(a,b)<0\)ならば、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で極大でも極小でもない。
(4)\(\det H_f(a,b)=0\)ならば、\(f(x,y)\)が点\((a,b)\)で極値をとるかとらないかわからない。