【微分積分】7-7-1 陰関数定理｜要点まとめ
このページでは、陰関数定理の定義や考え方、および陰関数の導関数（1階・2階微分や偏導関数）の計算方法について例題を交えてわかりやすく解説・整理します。
陰関数定理
【陰関数】
\(x\)と\(y\)に関する関係式\(\varphi(x,y)=0\)に対して、関数\(y=\eta(x)\)が
\(\varphi(x,\eta(x))=0\)
を満たすとき、\(y=\eta(x)\)を\(\varphi(x,y)=0\)によって定まる陰関数という。
【陰関数定理】
関数\(\varphi(x,y)\)は点\((a,b)\)の近傍上で\(C^1\)級で
\(\varphi(a,b)=0,\varphi_y(a,b)\neq0\)
とすれば、\(x=a\)を含む開区間\(I\)上の\(C^1\)級関数\(\eta(x)\)で
\(\eta(a)=b,\ \ \varphi(x,\eta(x))=0,\)
\(\displaystyle \eta'(x)=-\frac{\varphi_x(x,\eta(x))}{\varphi_y(x,\eta(x))},\ \ (x\in I)\)
を満たすものがただ一つ存在する。
【例題】次の方程式の定める陰関数の\(\displaystyle \frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}\)を求めなさい。
\(\displaystyle 1-2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle -2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2y\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}\)を代入すると、
\(\displaystyle -2\left(\frac{1}{2y}\right)^2-2y\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{4y^3}\)
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=3y+3x\frac{dy}{dx}\)
\(\displaystyle (2y-3x)\frac{dy}{dx}=3y-2x\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3y-2x}{2y-3x}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle -3\frac{dy}{dx}+(2y-3x)\frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3y-2x}{2y-3x}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{-3(3y-2x)}{2y-3x}+(2y-3x)\frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{10(x^2-3xy+y^2)}{(2y-3x)^3}\)
ここで、元の関係式より \(x^2-3xy+y^2=0\) であるため、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=0\)
3変数の陰関数定理
【3変数の陰関数】
\(x,y,z\)に関する関係式\(\varphi(x,y,z)=0\)に対して、関数\(y=\eta(x,y)\)が
\(\varphi(x,y,\eta(x,y))=0\)
を満たすとき、\(z=\eta(x,y)\)を\(\varphi(x,y,z)=0\)によって定まる陰関数という。
【3変数の陰関数定理】
関数\(\varphi(x,y,z)\)は点\((a,b,c)\)の近傍上で\(C^1\)級で
\(\varphi(a,b,c)=0,\varphi_z(a,b,c)\neq0\)
とすれば、\((x,y)=(a,b)\)を含む領域\(D\)上の\(C^1\)級関数\(\eta(x,y)\)で
\(\eta(a,b)=c,\ \ \varphi(x,y,\eta(x,y))=0,\ \ ((x,y)\in D)\)
を満たすものがただ一つ存在する。陰関数\(\eta(x,y)\)の偏導関数は
\(\displaystyle \eta_x(x,y)=-\frac{\varphi_x(x,y,\eta(x,y))}{\varphi_z(x,y,\eta(x,y))}\)
\(\displaystyle \eta_y(x,y)=-\frac{\varphi_y(x,y,\eta(x,y))}{\varphi_z(x,y,\eta(x,y))}\)
で与えられる。
【例題】次の方程式の定める陰関数の\(\displaystyle \frac{dz}{dx},\frac{dz}{dy}\)を求めなさい。
\(\displaystyle y+y\frac{dz}{dx}+x\frac{dz}{dx}+z=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{y+z}{x+y}\)
両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle x+z+y\frac{dz}{dy}+x\frac{dz}{dy}=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=-\frac{x+z}{x+y}\)
【例題】次の方程式の定める陰関数の\(\displaystyle \frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}\)を求めなさい。
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}+2z\frac{dz}{dx}=0\)
\(\displaystyle 2+3\frac{dy}{dx}-\frac{dz}{dx}=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x+2z}{y+3z}\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{2y-3x}{y+3z}\)