【微分積分】7-7-1 陰関数定理｜要点まとめ
このページでは、2変数関数のヘッセ行列およびヘッシアン（行列式）の定義と計算方法、ならびに停留点における極大・極小の判定条件についてわかりやすく解説・整理します。
陰関数定理
【陰関数】
\(x\)と\(y\)に関する関係式\(\varphi(x,y)=0\)に対して、関数\(y=\eta(x)\)が
\(\varphi(x,\eta(x))=0\)
を満たすとき、\(y=\eta(x)\)を\(\varphi(x,y)=0\)によって定まる陰関数という。
【陰関数定理】
関数\(\varphi(x,y)\)は点\((a,b)\)の近傍上で\(C^1\)級で
\(\varphi(a,b)=0,\varphi_y(a,b)\neq0\)
とすれば、\(x=a\)を含む開区間\(I\)上の\(C^1\)級関数\(\eta(x)\)で
\(\eta(a)=b,\ \ \varphi(x,\eta(x))=0,\)
\(\displaystyle \eta'(x)=-\frac{\varphi_x(x,\eta(x))}{\varphi_y(x,\eta(x))},\ \ (x\in I)\)
を満たすものがただ一つ存在する。
【例題】次の方程式の定める陰関数の\(\displaystyle \frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}\)を求めなさい。
(1)\(x-y^2=1\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 1-2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle -2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2y\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}\)を代入すると、
\(\displaystyle -2\left(\frac{1}{2y}\right)^2-2y\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{4y^3}\)
\(\displaystyle 1-2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle -2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2y\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}\)を代入すると、
\(\displaystyle -2\left(\frac{1}{2y}\right)^2-2y\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{4y^3}\)
(2)\(x^2+y^2=3xy\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=3y+3x\frac{dy}{dx}\)
\(\displaystyle (2y-3x)\frac{dy}{dx}=3y-2x\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3y-2x}{2y-3x}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle -3\frac{dy}{dx}+(2y-3x)\frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3y-2x}{2y-3x}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{-3(3y-2x)}{2y-3x}+(2y-3x)\frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{10(x^2-3xy+y^2)}{(2y-3x)^2}\)
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=3y+3x\frac{dy}{dx}\)
\(\displaystyle (2y-3x)\frac{dy}{dx}=3y-2x\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3y-2x}{2y-3x}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle -3\frac{dy}{dx}+(2y-3x)\frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3y-2x}{2y-3x}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{-3(3y-2x)}{2y-3x}+(2y-3x)\frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{10(x^2-3xy+y^2)}{(2y-3x)^2}\)
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