【微分積分】7-6-4 極値の計算｜問題集

\(f_x(x,y)=3x^2-6y=0\)
\(f_y(x,y)=-6x+3y^2=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=2,y=2\)
停留点は\((0,0),(2,2)\)
\(f_{xx}=6x\)
\(f_{yy}=6y\)
\(f_{xy}=-6\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}6x & -6 \\ -6 & 6y\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=-36<0\)なので、極値をとらない。
・\((2,2)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(2,2)=108>0\)
また、\(f_{xx}(2,2)=12>0\)なので、極小。
よって、
\(f(2,2)=-8\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=24x^2-12y=0\)
\(f_y(x,y)=3y^2-12x=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=1,y=2\)
停留点は\((0,0),(1,2)\)
\(f_{xx}=48x\)
\(f_{yy}=6y\)
\(f_{xy}=-12\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}48x & -12 \\ -12 & 6y\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=-144<0\)なので、極値をとらない。
・\((1,2)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(1,2)=432>0\)
また、\(f_{xx}(1,2)=48>0\)なので、極小。
よって、
\(f(1,2)=-8\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=12x^2+6xy=0\)
\(f_y(x,y)=-3y^2+3x^2+9=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=1,y=-2\)、\(x=-1,y=2\)、\(x=0,y=\sqrt{3}\)、\(x=0,y=-\sqrt{3}\)
停留点は\((1,-2),(-1,2),(0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3})\)
\(f_{xx}=24x+6y\)
\(f_{yy}=-6y\)
\(f_{xy}=6x\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}24x+6y & 6x \\ 6x & -6y\end{pmatrix}\)
・\((1,-2)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(1,-2)=108>0\)
また、\(f_{xx}(1,-2)=12>0\)なので、極小。
・\((-1,2)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(-1,2)=108>0\)
また、\(f_{xx}(-1,2)=-12<0\)なので、極大。
・\((0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3})\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,\sqrt{3})=\det H_f(0,-\sqrt{3})=-108<0\)なので、極値をとらない。
よって、
\(f(-1,2)=10\)が極大をとり、\(f(1,-2)=-10\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=4x^3-2y-2x=0\)
\(f_y(x,y)=-2x+2y=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=1,y=1\)、\(x=-1,y=-1\)
停留点は\((0,0),(1,1),(-1,-1)\)
\(f_{xx}=12x^2-2\)
\(f_{yy}=2\)
\(f_{xy}=-2\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}12x^2-2 & -2 \\ -2 & 2\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=-8<0\)なので、極値をとらない。
・\((1,1),(-1,-1)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(1,1)=\det H_f(-1,-1)=16>0\)
また、\(f_{xx}(1,1)=f_{xx}(-1,-1)=10>0\)なので、極小。
よって、
\(f(1,1)=f(-1,-1)=-1\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=4x^3+4xy^2-4x=0\)
\(f_y(x,y)=4y^3+4x^2y+4y=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=1,y=0\)、\(x=-1,y=0\)
停留点は\((0,0),(1,0),(-1,0)\)
\(f_{xx}=12x^2+4y^2-4\)
\(f_{yy}=4x^2+12y^2+4\)
\(f_{xy}=8xy\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}12x^2+4y^2-4 & 8xy \\ 8xy & 4x^2+12y^2+4\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=-16<0\)なので、極値をとらない。
・\((1,0),(-1,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(1,0)=\det H_f(-1,0)=64>0\)
また、\(f_{xx}(1,0)=f_{xx}(-1,0)=8>0\)なので、極小。
よって、
\(f(1,0)=f(-1,0)=-1\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=4x^3-4y=0\)
\(f_y(x,y)=4y^3-4x=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=1,y=1\)、\(x=-1,y=-1\)
停留点は\((0,0),(1,1),(-1,-1)\)
\(f_{xx}=12x^2\)
\(f_{yy}=12y^2\)
\(f_{xy}=-4\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}12x^2 & -4 \\ -4 & 12y^2\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=-16<0\)なので、極値をとらない。
・\((1,1),(-1,-1)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(1,1)=\det H_f(-1,-1)=128>0\)
また、\(f_{xx}(1,1)=f_{xx}(-1,-1)=12>0\)なので、極小。
よって、
\(f(1,1)=f(-1,-1)=-2\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=2x(1-x^2-2y^2)e^{-x^2-y^2}=0\)
\(f_y(x,y)=2y(2-x^2-2y^2)e^{-x^2-y^2}=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=1,y=0\)、\(x=-1,y=0\)、\(x=0,y=1\)、\(x=0,y=-1\)
停留点は\((0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\)
\(f_{xx}=2(1-5x^2-2y^2+2x^4+4x^2y^2)e^{-x^2-y^2}\)
\(f_{yy}=2(2-x^2-10y^2+2x^2y^2+4y^4)e^{-x^2-y^2}\)
\(f_{xy}=-4xy(3-x^2-2y^2)e^{-x^2-y^2}\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=8>0\)
また、\(f_{xx}(0,0)=2>0\)なので、極小。
・\((1,0),(-1,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(1,0)=\det H_f(-1,0)=-8e^{-2}<0\)なので、極値をとらない。
・\((0,1),(0,-1)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,1)=\det H_f(0,-1)=16e^{-2}>0\)
また、\(f_{xx}(0,1)=f_{xx}(0,-1)=-2e^{-1}<0\)なので、極大。
よって、
\(\displaystyle f(0,1)=f(0,-1)=\frac{2}{e}\)が極大をとり、\(f(0,0)=0\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=2x-\sin y=0\)
\(f_y(x,y)=-x\cos y+2\sin y\cos y=0\)
連立方程式を解くと、(\(n\)は整数)
\(x=0,y=n\pi\)、\(\displaystyle x=\frac{1}{2},y=\frac{\pi}{2}+2n\pi\)、\(\displaystyle x=-\frac{1}{2},y=-\frac{\pi}{2}+2n\pi\)
停留点は\(\displaystyle (0,n\pi),\left(\frac{1}{2},\frac{\pi}{2}+2n\pi\right),\left(-\frac{1}{2},-\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)\)
\(f_{xx}=2\)
\(f_{yy}=x\sin y+2\cos2y\)
\(f_{xy}=-\cos y\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2 & -\cos y \\ -\cos y & x\sin y+2\cos2y\end{pmatrix}\)
・\((0,n\pi)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,n\pi)=3>0\)
また、\(f_{xx}(0,n\pi)=2>0\)なので、極小。
・\(\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f\left(\frac{1}{2},\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=-3<0\)なので、極値をとらない。
・\(\displaystyle \left(-\frac{1}{2},-\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f\left(-\frac{1}{2},-\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)=-3<0\)なので、極値をとらない。
よって、
\(f(0,n\pi)=-1\)が極小をとる。

\(\displaystyle f_x(x,y)=y\left(\log(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{x^2+y^2}\right)=0\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=x\left(\log(x^2+y^2)+\frac{2y^2}{x^2+y^2}\right)=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=\pm1\)、\(x=\pm1,y=0\)、\(\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{2e}},y=\pm\frac{1}{\sqrt{2e}}\)
停留点は\(\displaystyle (0,\pm1),(\pm1,0),\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2e}},\pm\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)\)
\(\displaystyle f_{xx}=\frac{2xy(x^2+3y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)
\(\displaystyle f_{yy}=\frac{2xy(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)
\(\displaystyle f_{xy}=\log(x^2+y^2)+\frac{2(x^4+y^4)}{(x^2+y^2)^2}\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}\)
・\((0,\pm1),(\pm1,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,\pm1)=\det H_f(\pm1,0)=-4<0\)なので、極値をとらない。
・\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f\left(\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=\det H_f\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=4>0\)
また、\(\displaystyle f_{xx}\left(\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=f_{xx}\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=2>0\)なので、極小。
・\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2e}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f\left(\frac{1}{\sqrt{2e}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=\det H_f\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=4>0\)
また、\(\displaystyle f_{xx}\left(\frac{1}{\sqrt{2e}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=f_{xx}\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=-2<0\)なので、極大。
よって、
\(\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2e}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=f\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=\frac{1}{2e}\)が極大をとり、\(\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=f\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)=-\frac{1}{2e}\)が極小をとる。

\(\displaystyle f_x(x,y)=y-\frac{4}{x^2}=0\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=x-\frac{2}{y^2}=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=2,y=1\)
停留点は\((2,1)\)
\(\displaystyle f_{xx}=\frac{8}{x^3}\)
\(\displaystyle f_{yy}=\frac{4}{y^3}\)
\(f_{xy}=1\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{8}{x^3} & 1 \\ 1 & \displaystyle \frac{4}{y^3}\end{pmatrix}\)
・\((2,1)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(2,1)=3>0\)
また、\(f_{xx}(2,1)=1>0\)なので、極小。
よって、
\(f(2,1)=6\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=4x-12xy=0\)
\(f_y(x,y)=-6x^2+6y^2=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(\displaystyle x=\pm\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}\)
停留点は\(\displaystyle (0,0),(\frac{1}{3},\frac{1}{3}),(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})\)
\(f_{xx}=4-12y\)
\(f_{yy}=12y\)
\(f_{xy}=-12x\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}4-12y & -12x \\ -12x & 12y\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=0\)
\(f(0,0)\)が極値かどうか判断できないので、\(y\)軸上での\(f(x,y)\)の値をそれぞれ考える。
\(f(0,y)=2y^3<0\)であり、\(y>0\) で正、\(y<0\) で負となる。
\((0,0)\)の近傍で\(f(0,0)=0\)から増加する方向と減少する方向がある。すなわち、\((0,0)\)は極値ではない。
・\(\displaystyle (\frac{1}{3},\frac{1}{3})\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f(\frac{1}{3},\frac{1}{3})=-16<0\)なので、極値をとらない。
・\(\displaystyle (-\frac{1}{3},\frac{1}{3})\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})=-16<0\)なので、極値をとらない。
よって、
極値はない。

\(f_x(x,y)=4x^3-8(x-y)=0\)
\(f_y(x,y)=4y^3+8(x-y)=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=2,y=-2\)、\(x=-2,y=2\)
停留点は\((0,0),(2,-2),(-2,2)\)
\(f_{xx}=12x^2-8\)
\(f_{yy}=12y^2-8\)
\(f_{xy}=8\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}12x^2-8 & 8 \\ 8 & 12y^2-8\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=0\)
\(f(0,0)\)が極値かどうか判断できないので、\(y=x\)上と\(y=-x\)上での\(f(x,y)\)の値をそれぞれ考える。
\(f(x,x)=2x^4>0\ \ (x\neq0)\)
\(f(x,-x)=2x^2(x^2-8)<0\ \ (0<|x|<2\sqrt{2})\)
\((0,0)\)の近傍で\(f(0,0)=0\)から増加する方向と減少する方向がある。すなわち、\((0,0)\)は極値ではない。
・\((2,-2)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(2,-2)=1536>0\)
また、\(f_{xx}(2,-2)=40>0\)なので、極小
・\((-2,2)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(-2,2)=1536>0\)
また、\(f_{xx}(-2,2)=40>0\)なので、極小
よって、
\(f(2,-2)=f(-2,2)=-32\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=6x^2+6xy-6y^2-6x=0\)
\(f_y(x,y)=3x^2-12xy+9y^2=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=1,y=1\)、\(\displaystyle x=\frac{9}{11},y=\frac{3}{11}\)
停留点は\(\displaystyle (0,0),(1,1),\left(\frac{9}{11},\frac{3}{11}\right)\)
\(f_{xx}=12x+6y-6\)
\(f_{yy}=-12x+18y\)
\(f_{xy}=6x-12y\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}12x+6y-6 & 6x-12y \\ 6x-12y & -12x+18y\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=0\)
\(f(0,0)\)が極値かどうか判断できないので、\(y\)軸上での\(f(x,y)\)の値をそれぞれ考える。
\(f(0,y)=3y^3\)であり、\(y>0\) で正、\(y<0\) で負となる。
\((0,0)\)の近傍で\(f(0,0)=0\)から増加する方向と減少する方向がある。すなわち、\((0,0)\)は極値ではない。
・\((1,1)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(1,1)=36>0\)
また、\(f_{xx}(1,1)=12>0\)なので、極小
・\(\displaystyle \left(\frac{9}{11},\frac{3}{11}\right)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f\left(\frac{9}{11},\frac{3}{11}\right)=-\frac{3564}{121}<0\)なので、極値をとらない。
よって、
\(f(1,1)=-1\)が極小をとる。

\(f_x(x,y)=4x^3+12xy^2=0\)
\(f_y(x,y)=12x^2y+4y^3-12y=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(x=0,y=\sqrt{3}\)、\(x=0,y=-\sqrt{3}\)
停留点は\((0,0),(0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3})\)
\(f_{xx}=12x^2+12y^2\)
\(f_{yy}=12x^2+12y^2-12\)
\(f_{xy}=24xy\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}12x^2+12y^2 & 24xy \\ 24xy & 12x^2+12y^2-12\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=0\)
\(f(0,0)\)が極値かどうか判断できないので、\(x\)軸上および\(y\)軸上での\(f(x,y)\)の値をそれぞれ考える。
\(x\)軸上では \(f(x,0)=x^4>0\ \ (x\neq0)\)、
\(y\)軸上では \(f(0,y)=y^4-6y^2=y^2(y^2-6)<0\ \ (0<|y|<\sqrt{6})\)
\((0,0)\)の近傍で\(f(0,0)=0\)から増加する方向と減少する方向がある。すなわち、\((0,0)\)は極値ではない。
・\((0,\sqrt{3}),(0,-\sqrt{3})\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,\sqrt{3})=\det H_f(0,-\sqrt{3})=864>0\)
また、\(f_{xx}(0,\sqrt{3})=f_{xx}(0,-\sqrt{3})=36>0\)なので、極小
よって、
\(f(0,\sqrt{3})=f(0,-\sqrt{3})=-9\)が極小をとる。