【微分積分】7-7-1 陰関数定理｜問題集

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+y+x\frac{dy}{dx}+4y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+4y}\)

さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2+2\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2y}{dx^2}+4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+4y\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle (x+4y)\frac{d^2y}{dx^2}=-2-2\frac{dy}{dx}-4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+4y}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{14}{(x+4y)^3}\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 1-e^y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\)

さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{x^2}\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 3x^2-3y-3x\frac{dy}{dx}+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y-x^2}{y^2-x}\)

さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \left(2y\frac{dy}{dx}-1\right)\frac{dy}{dx}+(y^2-x)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}-2x\)
\(\displaystyle (y^2-x)\frac{d^2y}{dx^2}=2\frac{dy}{dx}-2y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2x\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y-x^2}{y^2-x}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2xy}{(y^2-x)^3}\)

各関数の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}+2z\frac{dz}{dx}=0\)
\(\displaystyle 1+\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{z-x}{y-z}\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{x-y}{y-z}\)

各関数の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle yz+xz\frac{dy}{dx}+xy\frac{dz}{dx}=0\)
\(\displaystyle 1+\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y(x-z)}{x(z-y)}\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{z(y-x)}{x(z-y)}\)