【微分積分】7-7-2 陰関数の計算｜問題集

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 4x+5y+5x\frac{dy}{dx}-6y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x+5y}{5x-6y}\)

さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 4+5\frac{dy}{dx}+\left(5-6\frac{dy}{dx}\right)\frac{dy}{dx}+(5x-6y)\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle 4+10\frac{dy}{dx}-6\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+(5x-6y)\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x+5y}{5x-6y}\)を代入すると、
\(\displaystyle (5x-6y)\frac{d^2y}{dx^2}=-4+\frac{10(4x+5y)}{5x-6y}-\frac{6(4x+5y)^2}{(5x-6y)^2}\)
\(\displaystyle (5x-6y)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{98(2x^2+5xy-3y^2)}{(5x-6y)^2}\)
ここで、元の関係式より\(2x^2+5xy-3y^2=1\)であるため、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{98}{(6y-5x)^3}\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{x+y}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=y\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{1-y}\)

さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{dy}{dx}(1-y)-y\left(-\frac{dy}{dx}\right)}{(1-y)^2}=\frac{\frac{dy}{dx}}{(1-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{1-y}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{y}{1-y}}{(1-y)^2}=\frac{y}{(1-y)^3}\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x-2y\frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x+2y}\)

さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2-2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-2y\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}+\left(\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2y}{dx^2}\right)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x+2y}\)を代入すると、
\(\displaystyle (x+2y)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-10(x^2-xy-y^2)}{(x+2y)^2}\)
ここで、元の関係式より\(x^2-y^2=xy\)であるため、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=0\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{x+y\frac{dy}{dx}}{x^2+y^2}=\frac{x\frac{dy}{dx}-y}{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\)

さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y\frac{d^2y}{dx^2}=x\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\)を代入すると、
\(\displaystyle (x-y)\frac{d^2y}{dx^2}=1+\frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}=\frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}\)

各関数の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}+2z\frac{dz}{dx}=0\)
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=4\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2-x}{y}\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{2}{z}\)

各関数の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle yz+xz\frac{dy}{dx}+xy\frac{dz}{dx}=0\)
\(\displaystyle (x+z)\frac{dy}{dx}+(x+y)\frac{dz}{dx}=-(y+z)\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y(1-x)}{x(y-1)}\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{z(1-x)}{x(z-1)}\)

曲線の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 4x+10y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{5y}\)

\((1,\sqrt{2})\)の接線の傾きは\(\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{5}\)となるので、求める接線の方程式は
\(\displaystyle y-\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{5}(x-1)\)
\(\displaystyle y=-\frac{\sqrt{2}}{5}x+\frac{6\sqrt{2}}{5}\)

曲面の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{y}{x^2+y^2}\)
曲面の両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{x}{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle \left(1,1,\frac{\pi}{4}\right)\)における微分係数は、
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{1}{2},\frac{dz}{dy}=\frac{1}{2}\)
求める接平面の方程式は
\(\displaystyle z-\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}(y-1)\)
\(\displaystyle x-y+2z=\frac{\pi}{2}\)

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 16x+4y+4x\frac{dy}{dx}+10y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle (4x+10y)\frac{dy}{dx}=-(16x+4y)\)
極値は\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\)の点なので
\(-(16x+4y)=0\)
元の式\(8x^2+4xy+5y^2=36\)との連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-2\sqrt{2}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},2\sqrt{2}\right)\)
さらに両辺を\(x\)で微分して、\(\frac{dy}{dx}=0\) を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{8}{2x+5y}\)
よって、
\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},2\sqrt{2}\right)\)が極大をとり、\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-2\sqrt{2}\right)\)が極小をとる。

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2xy+x^2\frac{dy}{dx}+1+\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle (x^2+1)\frac{dy}{dx}=-(2xy+1)\)
極値は\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\)の点なので
\(-(2xy+1)=0\)
元の式\(x^2y+x+y=0\)との連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \left(1,-\frac{1}{2}\right),\left(-1,\frac{1}{2}\right)\)
さらに両辺を\(x\)で微分して、\(\frac{dy}{dx}=0\) を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2y}{x^2+1}\)
よって、
\(\left(-1,\frac{1}{2}\right)\)が極大をとり、\(\left(1,-\frac{1}{2}\right)\)が極小をとる。

両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-6y-6x\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle (3y^2-6x)\frac{dy}{dx}=-(3x^2-6y)\)
極値は\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\)の点なので
\(-(3x^2-6y)=0\)
元の式\(x^3+y^3-6xy=0\)との連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (0,0),(2\sqrt[3]{2},2\sqrt[3]{4})\)
※\((0,0)\)では分母\(3y^2-6x=0\)となり\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)が定義されないため除外
さらに両辺を\(x\)で微分して、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\) を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2x}{y^2-2x}\)
よって、
\((2\sqrt[3]{2},2\sqrt[3]{4})\)が極大をとる。