【微分積分】7-7-2 陰関数の計算｜要点まとめ
このページでは、陰関数定理の定義や考え方、および陰関数の導関数（1階・2階微分や偏導関数）の計算方法について例題を交えてわかりやすく解説・整理します。
陰関数の計算
【例題】次の方程式の定める陰関数の\(\displaystyle \frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}\)を求めなさい。
(1)\(x^2+y^2=xy+1\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x-2y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+2y\frac{d^2y}{dx^2}=2\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2y}{dx^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x-2y}\)を代入すると、
\(\displaystyle (2y-x)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-6(x^2-xy+y^2)}{(2y-x)^2}\)
ここで、元の関係式より\(x^2+y^2=xy+1\)であるため、
\(\displaystyle (2y-x)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-6}{(2y-x)^2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{6}{(x-2y)^3}\)
\(\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x-2y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+2y\frac{d^2y}{dx^2}=2\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2y}{dx^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x-2y}\)を代入すると、
\(\displaystyle (2y-x)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-6(x^2-xy+y^2)}{(2y-x)^2}\)
ここで、元の関係式より\(x^2+y^2=xy+1\)であるため、
\(\displaystyle (2y-x)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-6}{(2y-x)^2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{6}{(x-2y)^3}\)
(2)\(y=e^{x+y}\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{x+y}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{1-y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{dy}{dx}(1-y)-y\left(-\frac{dy}{dx}\right)}{(1-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{dy}{dx}}{(1-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{1-y}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y}{(1-y)^3}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{x+y}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{1-y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{dy}{dx}(1-y)-y\left(-\frac{dy}{dx}\right)}{(1-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{dy}{dx}}{(1-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{1-y}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y}{(1-y)^3}\)
(3)\(\displaystyle \tan^{-1}\frac{y}{x}=\log\sqrt{x^2+y^2}\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{x\frac{dy}{dx}-y}{x^2+y^2}=\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\left(1+\frac{dy}{dx}\right)(x-y)-(x+y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right)}{(x-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2x\frac{dy}{dx} - 2y}{(x-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}\)
\(\displaystyle \frac{x\frac{dy}{dx}-y}{x^2+y^2}=\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\)
さらに両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\left(1+\frac{dy}{dx}\right)(x-y)-(x+y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right)}{(x-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2x\frac{dy}{dx} - 2y}{(x-y)^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\)を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x-y)^3}\)
【例題】次の曲線の点における接線の方程式を求めなさい。
\(2x^3+6x^2y-4xy+3y^2-10=0\)、点\((1,-2)\)
曲線の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 6x^2+12xy+6x^2\frac{dy}{dx}-4y-4x\frac{dy}{dx}+6y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{3x^2+6xy-2y}{3x^2-2x+3y}\)
\((1,-2)\)の接線の傾きは\(-1\)となるので、求める接線の方程式は
\(y-(-2)=-(x-1)\)
\(y=-x-1\)
\(\displaystyle 6x^2+12xy+6x^2\frac{dy}{dx}-4y-4x\frac{dy}{dx}+6y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{3x^2+6xy-2y}{3x^2-2x+3y}\)
\((1,-2)\)の接線の傾きは\(-1\)となるので、求める接線の方程式は
\(y-(-2)=-(x-1)\)
\(y=-x-1\)
【例題】次の方程式の定める陰関数の極値を求めなさい。
(1)\(x^2+xy+y^2=1\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle (x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y)\)
極値は\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\)の点なので
\(-(2x+y)=0\)
元の式\(x^2+xy+y^2=1\)との連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
さらに両辺を\(x\)で微分して、\(\frac{dy}{dx}=0\) を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2}{x+2y}\)
よって、
\(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)が極大をとり、\(\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)が極小をとる。
\(\displaystyle 2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle (x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y)\)
極値は\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\)の点なので
\(-(2x+y)=0\)
元の式\(x^2+xy+y^2=1\)との連立方程式を解くと、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
さらに両辺を\(x\)で微分して、\(\frac{dy}{dx}=0\) を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2}{x+2y}\)
よって、
\(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)が極大をとり、\(\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)が極小をとる。
(2)\((x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 2(x^2+y^2)\left(2x+2y\frac{dy}{dx}\right)=2\left(2x-2y\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\displaystyle \left\{y(x^2+y^2)+y\right\}\frac{dy}{dx}=x-x(x^2+y^2)\)
極値は\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\)の点なので
\(x-x(x^2+y^2)=0\)
元の式\((x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\)との連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (0,0),\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\pm\frac{1}{2}\right)\)
※\((0,0)\) は \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) の分母が \(0\) となるため除く。
さらに両辺を\(x\)で微分して、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\) を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{x^2}{y}\)
よって、
\(\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\)が極大をとり、\(\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\)が極小をとる。
\(\displaystyle 2(x^2+y^2)\left(2x+2y\frac{dy}{dx}\right)=2\left(2x-2y\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\displaystyle \left\{y(x^2+y^2)+y\right\}\frac{dy}{dx}=x-x(x^2+y^2)\)
極値は\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\)の点なので
\(x-x(x^2+y^2)=0\)
元の式\((x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\)との連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (0,0),\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\pm\frac{1}{2}\right)\)
※\((0,0)\) は \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) の分母が \(0\) となるため除く。
さらに両辺を\(x\)で微分して、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\) を代入すると、
\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{x^2}{y}\)
よって、
\(\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\)が極大をとり、\(\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\)が極小をとる。
【例題】次の方程式の定める陰関数の\(\displaystyle \frac{dz}{dx},\frac{dz}{dy}\)を求めなさい。
(1)\(x^3+y^3+z^3-3xy=1\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 3x^2+0+3z^2\frac{dz}{dx}-3y=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{y-x^2}{z^2}\)
両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle 0+3y^2+3z^2\frac{dz}{dy}-3x=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{x-y^2}{z^2}\)
\(\displaystyle 3x^2+0+3z^2\frac{dz}{dx}-3y=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{y-x^2}{z^2}\)
両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle 0+3y^2+3z^2\frac{dz}{dy}-3x=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{x-y^2}{z^2}\)
(2)\(z+x=\sin(z+y)\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}+1=\cos(z+y)\frac{dz}{dx}\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{1}{\cos(z+y)-1}\)
両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\cos(z+y)\left(\frac{dz}{dy}+1\right)\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{\cos(z+y)}{1-\cos(z+y)}\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}+1=\cos(z+y)\frac{dz}{dx}\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{1}{\cos(z+y)-1}\)
両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\cos(z+y)\left(\frac{dz}{dy}+1\right)\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{\cos(z+y)}{1-\cos(z+y)}\)
【例題】次の曲面の点における接平面の方程式を求めなさい。
\(xy^2+yz^2+zx^2=4\)、点\((0,1,2)\)
曲面の両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle y^2+2yz\frac{dz}{dx}+x^2\frac{dz}{dx}+2xz=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{y^2+2xz}{x^2+2yz}\)
曲面の両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle 2xy+z^2+2yz\frac{dz}{dy}+x^2\frac{dz}{dy}=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=-\frac{z^2+2xy}{x^2+2yz}\)
\((0,1,2)\)では\(x^2+2yz\neq0\)を満たすので、
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{1}{4},\frac{dz}{dy}=-1\)
求める接平面の方程式は
\(\displaystyle z=2-\frac{1}{4}(x-0)-(y-1)=-\frac{1}{4}x-y+3\)
\(\displaystyle y^2+2yz\frac{dz}{dx}+x^2\frac{dz}{dx}+2xz=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{y^2+2xz}{x^2+2yz}\)
曲面の両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle 2xy+z^2+2yz\frac{dz}{dy}+x^2\frac{dz}{dy}=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=-\frac{z^2+2xy}{x^2+2yz}\)
\((0,1,2)\)では\(x^2+2yz\neq0\)を満たすので、
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{1}{4},\frac{dz}{dy}=-1\)
求める接平面の方程式は
\(\displaystyle z=2-\frac{1}{4}(x-0)-(y-1)=-\frac{1}{4}x-y+3\)
【例題】次の方程式の定める陰関数の極値を求めなさい。
\(2x^2+y^2+3z^2-2xy+2yz-xz=7\)
両辺を\(x\)で微分すると、
\(\displaystyle 4x+6z\frac{dz}{dx}-2y+2y\frac{dz}{dx}-z-x\frac{dz}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{z+2y-4x}{-x+2y+6z}\)
両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle 2y+6z\frac{dz}{dy}-2x+2z+2y\frac{dz}{dy}-x\frac{dz}{dy}=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{2x-2y-2z}{-x+2y+6z}\)
極値は\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}=0\)の点なので
\(z+2y-4x=0\)
\(x-y-z=0\)
元の式\(2x^2+y^2+3z^2-2xy+2yz-xz=7\)との連立方程式を解くと、
\((1,3,-2),(-1,-3,2)\)
さらに両辺を微分すると、
\(\displaystyle \frac{d^2z}{dx^2}=-\frac{4}{-x+2y+6z}\)
\(\displaystyle \frac{d^2z}{dxdy}=\frac{2}{-x+2y+6z}\)
\(\displaystyle \frac{d^2z}{dy^2}=-\frac{2}{-x+2y+6z}\)
\((1,3,-2)\)では、
\(\displaystyle \det H_f(1,3,-2)=\frac{4}{49}>0\)
また、\(f_{xx}(1,3,-2)=\frac{4}{7}>0\)なので、極小。
\((-1,-3,2)\)では、
\(\displaystyle \det H_f(-1,-3,2)=\frac{4}{49}>0\)
また、\(f_{xx}(-1,-3,2)=-\frac{4}{7}<0\)なので、極大。
よって、
\((-1,-3,2)\)が極大をとり、\((1,3,-2)\)が極小をとる。
\(\displaystyle 4x+6z\frac{dz}{dx}-2y+2y\frac{dz}{dx}-z-x\frac{dz}{dx}=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{z+2y-4x}{-x+2y+6z}\)
両辺を\(y\)で微分すると、
\(\displaystyle 2y+6z\frac{dz}{dy}-2x+2z+2y\frac{dz}{dy}-x\frac{dz}{dy}=0\)
\(\displaystyle \frac{dz}{dy}=\frac{2x-2y-2z}{-x+2y+6z}\)
極値は\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}=0\)の点なので
\(z+2y-4x=0\)
\(x-y-z=0\)
元の式\(2x^2+y^2+3z^2-2xy+2yz-xz=7\)との連立方程式を解くと、
\((1,3,-2),(-1,-3,2)\)
さらに両辺を微分すると、
\(\displaystyle \frac{d^2z}{dx^2}=-\frac{4}{-x+2y+6z}\)
\(\displaystyle \frac{d^2z}{dxdy}=\frac{2}{-x+2y+6z}\)
\(\displaystyle \frac{d^2z}{dy^2}=-\frac{2}{-x+2y+6z}\)
\((1,3,-2)\)では、
\(\displaystyle \det H_f(1,3,-2)=\frac{4}{49}>0\)
また、\(f_{xx}(1,3,-2)=\frac{4}{7}>0\)なので、極小。
\((-1,-3,2)\)では、
\(\displaystyle \det H_f(-1,-3,2)=\frac{4}{49}>0\)
また、\(f_{xx}(-1,-3,2)=-\frac{4}{7}<0\)なので、極大。
よって、
\((-1,-3,2)\)が極大をとり、\((1,3,-2)\)が極小をとる。
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