【微分積分】7-8-1 ラグランジュの未定乗数法｜問題集

条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-4=0\)
\(f(x,y)=3x^2+4xy+3y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=3x^2+4xy+3y^2-\lambda(x^2+y^2-4)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=6x+4y-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=4x+6y-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-4)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,\lambda)=(\sqrt{2},\sqrt{2},5),(-\sqrt{2},-\sqrt{2},5),(\sqrt{2},-\sqrt{2},1),(-\sqrt{2},\sqrt{2},1)\)
よって、
\((\sqrt{2},\sqrt{2}),(-\sqrt{2},-\sqrt{2})\)のとき、最大値\(20\)
\((\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2},\sqrt{2})\)のとき、最小値\(4\)