【微分積分】7-8-1 ラグランジュの未定乗数法｜要点まとめ
このページでは、条件付き極値問題を解くための「ラグランジュの未定乗数法」について、定義や特異点の考え方、3変数以上・複数条件への拡張まで例題を交えて分かりやすく解説・整理します。
ラグランジュの未定乗数法
【条件付き極大・極小】
\(x\)と\(y\)に関する関係式\(\varphi(x,y)=0\)に対して
\(E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|\varphi(x,y)=0\}\)
とおき、\((a,b)\in E\)とする。
関数\(f(x,y)\)に対して、ある\(\delta>0\)が存在して
\(f(x,y)< f(a,b)\)
\(((x,y)\in U_\delta(a,b)\cap E,\ (x,y)\neq(a,b))\)
が成り立つとき、条件\(\varphi(x,y)=0\)のもとで\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)において極大であるという。
\(f(x,y)> f(a,b)\)
\(((x,y)\in U_\delta(a,b)\cap E,\ (x,y)\neq(a,b))\)
が成り立つとき、条件\(\varphi(x,y)=0\)のもとで\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)において極小であるという。
【特異点】
\(\varphi(x,y)\)を\(C^1\)級関数とする。\(x\)と\(y\)に関する関係式\(\varphi(x,y)=0\)に対して
\(\varphi(a,b)=\varphi_x(a,b)=\varphi_y(a,b)=0\)
をみたす点\((a,b)\)を関係式\(\varphi(x,y)=0\)の特異点という。
【ラグランジュの未定乗数法】
関数\(\varphi(x,y)\)は点\((a,b)\)の近傍上で\(C^1\)級で、\(\varphi(a,b)=0\)であるとする。また、点\((a,b)\)は関係式\(\varphi(x,y)=0\)の特異点でないとする。このとき、条件\(\varphi(x,y)=0\)のもとで関数\(f(x,y)\)が点\((a,b)\)において極値をとり、かつ全微分可能であれば、ある定数\(\lambda\)が存在して
\(f_x(a,b)-\lambda\varphi_x(a,b)=0\)
\(f_y(a,b)-\lambda\varphi_y(a,b)=0\)
が成り立つ。
【例題】次の問いに答えなさい。
\(\varphi(x,y)=4x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=x+y\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x+y-\lambda(4x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=1-8\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=1-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(4x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\pm\frac{1}{2\sqrt{5}},\pm\frac{2}{\sqrt{5}},\pm\frac{\sqrt{5}}{4}\right)\)
よって、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{2\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{2}\)
3変数以上のラグランジュの未定乗数法
【特異点】
\(\varphi(\boldsymbol{x})\)を\(C^1\)級関数とする。関係式\(\varphi(\boldsymbol{x})=0\)に対して
\(\varphi(\boldsymbol{a})=\varphi_{x_1}(\boldsymbol{a})=\cdots=\varphi_{x_n}(\boldsymbol{a})=0\)
をみたす点\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)を関係式\(\varphi(\boldsymbol{x})=0\)の特異点という。
【ラグランジュの未定乗数法】
関数\(\varphi(\boldsymbol{x})\)は点\(\boldsymbol{a}\)の近傍上で\(C^1\)級で、\(\varphi(\boldsymbol{a})=0\)であるとする。また、点\(\boldsymbol{a}\)は関係式\(\varphi(\boldsymbol{x})=0\)の特異点でないとする。このとき、条件\(\varphi(\boldsymbol{x})=0\)のもとで関数\(f(\boldsymbol{x})\)が点\(\boldsymbol{a}\)において極値をとり、かつ全微分可能であれば、ある定数\(\lambda\)が存在して
\(f_{x_j}(\boldsymbol{a})-\lambda\varphi_{x_j}(\boldsymbol{a})=0\ \ (j=1,2,\cdots,n)\)
が成り立つ。
【関数の勾配】
\(C^1\)級関数\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)に対して
\(\nabla f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)
\(=(f_{x_1}(x_1,x_2,\cdots,x_n),f_{x_2}(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ ,\cdots,f_{x_n}(x_1,x_2,\cdots,x_n))\)
を関数\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)の勾配という。\(\nabla f(\boldsymbol{x})\)はgrad\(\ f(\boldsymbol{x})\)とも表される。
【複数個の関数に関する特異点】
\(m\)個の関数\(\varphi_1(\boldsymbol{x}),\varphi_2(\boldsymbol{x}),\cdots,\varphi_m(\boldsymbol{x})\)を\(C^1\)級とする。点\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)について
\(\varphi_1(\boldsymbol{a})=\varphi_2(\boldsymbol{a})=\cdots=\varphi_m(\boldsymbol{a})=0\)
かつ\(m\)本の\(n\)次元ベクトル
\(\nabla\varphi_1(\boldsymbol{a}),\nabla\varphi_2(\boldsymbol{a}),\cdots,\nabla\varphi_m(\boldsymbol{a}),\)
が1次従属であるようなとき、点\(\boldsymbol{a}\)を関係式\(\varphi_1(\boldsymbol{x})=\varphi_2(\boldsymbol{x})=\cdots=\varphi_m(\boldsymbol{x})=0\)の特異点という。
【ラグランジュの未定乗数法】
関数\(\varphi_1(\boldsymbol{x}),\varphi_2(\boldsymbol{x}),\cdots,\varphi_m(\boldsymbol{x})\)は点\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)の近傍上で\(C^1\)級で、\(\varphi_1(\boldsymbol{a})=\varphi_2(\boldsymbol{a})=\cdots=\varphi_m(\boldsymbol{a})=0\)であるとする。また、点\(\boldsymbol{a}\)は関係式\(\varphi_1(\boldsymbol{x})=\varphi_2(\boldsymbol{x})=\cdots=\varphi_m(\boldsymbol{x})=0\)の特異点でないとする。このとき、条件\(\varphi_1(\boldsymbol{x})=\varphi_2(\boldsymbol{x})=\cdots=\varphi_m(\boldsymbol{x})=0\)のもとで関数\(f(\boldsymbol{x})\)が点\(\boldsymbol{a}\)において極値をとり、かつ全微分可能であれば、ある定数\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)が存在して
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_j}(\boldsymbol{a})-\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}(\boldsymbol{a})=0\ \ (j=1,2,\cdots,n)\)
が成り立つ。