【微分積分】7-8-2 条件式が有界閉集合の計算｜要点まとめ

条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-2=0\)
\(f(x,y)=xy\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=xy-\lambda(x^2+y^2-2)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=y-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=x-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-2)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(1,1,\frac{1}{2}\right),\left(-1,-1,\frac{1}{2}\right),\left(1,-1,-\frac{1}{2}\right),\left(-1,1,-\frac{1}{2}\right)\)
よって、
\((1,1),(-1,-1)\)のとき、最大値\(1\)
\((1,-1),(-1,1)\)のとき、最小値\(-1\)

条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-4=0\)
\(f(x,y)=(x^3+8)y\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=(x^3+8)y-\lambda(x^2+y^2-4)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=3x^2y-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=x^3+8-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-4)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,\lambda)=(0,2,2),(0,-2,-2),(-2,0,0),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(1,\sqrt{3},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right),\left(1,-\sqrt{3},-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
よって、
\((0,2)\)のとき、最大値\(16\)
\((0,-2)\)のとき、最小値\(-16\)

条件式を
\(\varphi(x,y)=2x^2-3xy+2y^2-1=0\)
\(f(x,y)=x^2+y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^2+y^2-\lambda(2x^2-3xy+2y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2x-\lambda(4x-3y)=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2y-\lambda(-3x+4y)=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(2x^2-3xy+2y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,\lambda)=(1,1,2),(-1,-1,2),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(\frac{1}{\sqrt{7}},-\frac{1}{\sqrt{7}},\frac{2}{7}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{7}},\frac{1}{\sqrt{7}},\frac{2}{7}\right)\)
よって、
\((1,1),(-1,-1)\)のとき、最大値\(2\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{7}},-\frac{1}{\sqrt{7}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{7}},\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\)のとき、最小値\(\displaystyle \frac{2}{7}\)

条件式を
\(\varphi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)
\(f(x,y,z)=xy+yz+zx\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,z,\lambda)\)
\(=f(x,y,z)-\lambda\varphi(x,y,z)\)
\(=xy+yz+zx-\lambda(x^2+y^2+z^2-1)\)
\(F(x,y,z,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,z,\lambda)=y+z-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,z,\lambda)=x+z-2\lambda y=0\)
\(F_z(x,y,z,\lambda)=x+y-2\lambda z=0\)
\(F_\lambda(x,y,z,\lambda)=-(x^2+y^2+z^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},z=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\lambda=1\)
\(x+y+z=0\)\(\displaystyle \lambda=-\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)のとき、最大値\(1\)
\(x+y+z=0\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)

\(x^2+y^2+z^2=r^2,x\geqq0,y\geqq0,z\geqq0\)のとき、\(8xyz\)の最大値を求めればよい。
条件式を
\(\varphi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2=0\)
\(f(x,y,z)=8xyz\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,z,\lambda)\)
\(=f(x,y,z)-\lambda\varphi(x,y,z)\)
\(=8xyz-\lambda(x^2+y^2+z^2-r^2)\)
\(F(x,y,z,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,z,\lambda)=8yz-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,z,\lambda)=8xz-2\lambda y=0\)
\(F_z(x,y,z,\lambda)=8xy-2\lambda z=0\)
\(F_\lambda(x,y,z,\lambda)=-(x^2+y^2+z^2-r^2)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle x=y=z=\frac{r}{\sqrt{3}},\lambda=\frac{4r}{\sqrt{3}}\)
よって、
\(\displaystyle x=y=z=\frac{r}{\sqrt{3}}\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{8r^3}{3\sqrt{3}}\)

\(D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqq1\}\)の停留点を求める。
\(\displaystyle f_x=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+2=0\)
\(\displaystyle f_y=\frac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+1=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{6}},y=\frac{1}{\sqrt{6}}\)

また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=2x+y\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=2x+y-\lambda(x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=1-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{\sqrt{5}}{2}\right),\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)
よって、
\(\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\)のとき、最大値\(\sqrt{6}\)
\(\displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\)のとき、最小値\(-\sqrt{5}\)