【微分積分】7-8-3 条件式が非有界閉集合の計算｜要点まとめ
このページでは、条件式が非有界閉集合である場合の極値・最大最小問題の解法について解説します。ラグランジュの未定乗数法を用いた停留点・特異点の導出から、領域の境界や無限遠における挙動の評価まで、例題を交えて詳しく整理します。
条件式が非有界閉集合の計算
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(x^3-3xy+y^3=0\)のとき、\(x^2+y^2\)の極値を求めなさい。
\(\varphi(x,y)=x^3-3xy+y^3=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=3x^2-3y=0\)
\(\varphi_y(x,y)=-3x+3y^2=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0),(1,1)\)
\(\varphi(0,0)=0\)より、特異点をもつ。
また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^3-3xy+y^3=0\)
\(f(x,y)=x^2+y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^2+y^2-\lambda(x^3-3xy+y^3)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2x-3\lambda(x^2-y)=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2y-3\lambda(y^2-x)=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^3-3xy+y^3)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right)\)
よって、
\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{9}{2}\)
\((0,0)\)のとき、極小値\(0\)
\(\varphi_x(x,y)=3x^2-3y=0\)
\(\varphi_y(x,y)=-3x+3y^2=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0),(1,1)\)
\(\varphi(0,0)=0\)より、特異点をもつ。
また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^3-3xy+y^3=0\)
\(f(x,y)=x^2+y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^2+y^2-\lambda(x^3-3xy+y^3)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2x-3\lambda(x^2-y)=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2y-3\lambda(y^2-x)=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^3-3xy+y^3)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right)\)
よって、
\(\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{9}{2}\)
\((0,0)\)のとき、極小値\(0\)
(2)\(x^2+y^2=1\)のとき、\(x^3+y^3\)の極値を求めなさい。
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=2x=0\)
\(\varphi_y(x,y)=2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)\neq0\)より、特異点をもたない。
条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=x^3+y^3\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^3+y^3-\lambda(x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=3x^2-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=3y^2-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(0,1,\frac{3}{2}\right),\left(0,-1,-\frac{3}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(1,0,\frac{3}{2}\right),\left(-1,0,-\frac{3}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)\)
よって、
\((1,0),(0,1)\)のとき、極大値\(1\)
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、極大値\(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\((-1,0),(0,-1)\)のとき、極小値\(-1\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\varphi_x(x,y)=2x=0\)
\(\varphi_y(x,y)=2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)\neq0\)より、特異点をもたない。
条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=x^3+y^3\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^3+y^3-\lambda(x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=3x^2-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=3y^2-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(0,1,\frac{3}{2}\right),\left(0,-1,-\frac{3}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(1,0,\frac{3}{2}\right),\left(-1,0,-\frac{3}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)\)
よって、
\((1,0),(0,1)\)のとき、極大値\(1\)
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、極大値\(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\((-1,0),(0,-1)\)のとき、極小値\(-1\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
【例題】関数\(f(x,y)=(x^2-y^2)e^{-(x+2y)}\)がある。
(1)\(f(x,y)\)の極値を求めなさい。
\(f_x(x,y)=2xe^{-(x+2y)}-(x^2-y^2)e^{-(x+2y)}=0\)
\(f_y(x,y)=-2ye^{-(x+2y)}-2(x^2-y^2)e^{-(x+2y)}=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(\displaystyle x=-\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}\)
停留点は\(\displaystyle (0,0),\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\)
\(f_{xx}=2(1-x)e^{-(x+2y)}-f_x(x,y)\)
\(f_{yy}=-4xe^{-(x+2y)}-f_y(x,y)\)
\(f_{xy}=2(2y-1)e^{-(x+2y)}-2f_y(x,y)\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2(1-x)e^{-(x+2y)}-f_x(x,y) & 2(2y-1)e^{-(x+2y)}-2f_y(x,y) \\ 2(2y-1)e^{-(x+2y)}-2f_y(x,y) & -4xe^{-(x+2y)}-f_y(x,y)\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=-4<0\)なので、極値をとらない。
・\(\displaystyle \left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{e^4}>0\)
また、\(\displaystyle f_{xx}\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)=\frac{10}{3e^2}>0\)なので、極小。
よって、
\(\displaystyle f\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)=-\frac{4}{3e^2}\)が極小をとる。
\(f_y(x,y)=-2ye^{-(x+2y)}-2(x^2-y^2)e^{-(x+2y)}=0\)
連立方程式を解くと、
\(x=0,y=0\)、\(\displaystyle x=-\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}\)
停留点は\(\displaystyle (0,0),\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\)
\(f_{xx}=2(1-x)e^{-(x+2y)}-f_x(x,y)\)
\(f_{yy}=-4xe^{-(x+2y)}-f_y(x,y)\)
\(f_{xy}=2(2y-1)e^{-(x+2y)}-2f_y(x,y)\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2(1-x)e^{-(x+2y)}-f_x(x,y) & 2(2y-1)e^{-(x+2y)}-2f_y(x,y) \\ 2(2y-1)e^{-(x+2y)}-2f_y(x,y) & -4xe^{-(x+2y)}-f_y(x,y)\end{pmatrix}\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=-4<0\)なので、極値をとらない。
・\(\displaystyle \left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{e^4}>0\)
また、\(\displaystyle f_{xx}\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)=\frac{10}{3e^2}>0\)なので、極小。
よって、
\(\displaystyle f\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)=-\frac{4}{3e^2}\)が極小をとる。
(2)\(D=\{(x,y)|x+y\geqq0,y\geqq0\}\)のとき、\(f(x,y)\)の最小値を求めなさい。
停留点\(\displaystyle (0,0),\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\)は領域\(D\)の境界、内部に含まれる。
直線\(y=0\)上で
\(x=0\)で最小値\(0\)
\(x=2\)で極大値\(\displaystyle \frac{4}{e^2}\)
\(x\to\infty\)で最小値\(0\)
直線\(x+y=0\)上で常に最小値\(0\)
よって、
\(\displaystyle \left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{4}{3e^2}\)
直線\(y=0\)上で
\(x=0\)で最小値\(0\)
\(x=2\)で極大値\(\displaystyle \frac{4}{e^2}\)
\(x\to\infty\)で最小値\(0\)
直線\(x+y=0\)上で常に最小値\(0\)
よって、
\(\displaystyle \left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{4}{3e^2}\)
【例題】次の問いに答えなさい。
\(y^2=x^3\)のとき、\((x+1)^2+y^2\)の極値を求めなさい。
\(\varphi(x,y)=x^3-y^2=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=3x^2=0\)
\(\varphi_y(x,y)=-2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)=0\)より、特異点をもつ。
また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^3-y^2=0\)
\(f(x,y)=(x+1)^2+y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=(x+1)^2+y^2-\lambda(x^3-y^2)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2(x+1)-3\lambda x^2=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2y+2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^3-y^2)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,\lambda)=(0,0,-1)\)
よって、
\((0,0)\)のとき、極小値\(1\)
\(\varphi_x(x,y)=3x^2=0\)
\(\varphi_y(x,y)=-2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)=0\)より、特異点をもつ。
また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^3-y^2=0\)
\(f(x,y)=(x+1)^2+y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=(x+1)^2+y^2-\lambda(x^3-y^2)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2(x+1)-3\lambda x^2=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2y+2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^3-y^2)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,\lambda)=(0,0,-1)\)
よって、
\((0,0)\)のとき、極小値\(1\)
縁付きヘッセ行列式
関数\(\varphi(x,y)\)と\(f(x,y)\)はともに\(C^2\)級であるとし、条件\(\varphi(x,y)=0\)のもとで関数\(f(x,y)\)の極値問題を考えるとき、関数\(F(x,y,\lambda)\)を
\(F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda_\varphi(x,y)\)
を定義し、次の行列式
\(\widetilde{H}(x,y,\lambda)=\begin{vmatrix}0 & \varphi_x(x,y) & \varphi_y(x,y) \\ \varphi_x(x,y) & F_{xx}(x,y,\lambda) & F_{xy}(x,y,\lambda) \\ \varphi_y(x,y) & F_{yx}(x,y,\lambda) & F_{yy}(x,y,\lambda)\end{vmatrix}\)
を縁付きヘッセ行列式という。
【条件付き極値問題の極大・極小の判定法】
関数\(\varphi(x,y)\)と\(f(x,y)\)はともに\(C^2\)級であるとし、関数\(F(x,y,\lambda)\)を
\(F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
を定義する。また、点\((a,b,\lambda_0)\)を\(F\)の停留点とし、点\((a,b)\)は関係式\(\varphi(x,y)=0\)の特異点でないとする。このとき、
(1)\(\widetilde{H}(a,b,\lambda_0)>0\)ならば、条件\(\varphi(x,y)=0\)のもとで関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で極大となる。
(2)\(\widetilde{H}(a,b,\lambda_0)<0\)ならば、条件\(\varphi(x,y)=0\)のもとで関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で極小となる。
【例題】次の問いに答えなさい。
\(x^2+y^2=1\)のとき、\(x^3+y^3\)の極値を求めなさい。
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=2x=0\)
\(\varphi_y(x,y)=2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)\neq0\)より、特異点をもたない。
条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=x^3+y^3\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^3+y^3-\lambda(x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=3x^2-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=3y^2-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(0,1,\frac{3}{2}\right),\left(0,-1,-\frac{3}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(1,0,\frac{3}{2}\right),\left(-1,0,-\frac{3}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)\)
そこで、点\(\displaystyle \left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)が極値をとるかどうか調べる。縁付きヘッセ行列は
\(\widetilde{H}(x,y,\lambda)=\begin{vmatrix}0 & \varphi_x & \varphi_y \\ \varphi_x & F_{xx} & F_{xy} \\ \varphi_y & F_{yx} & F_{yy}\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}0 & 2x & 2y \\ 2x & 6x-2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 6y-2\lambda\end{vmatrix}\)
\(=-4y^2(6x-2\lambda)-4x^2(6y-2\lambda)\)
すなわち
\(\displaystyle \widetilde{H}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)=-6\sqrt{2}<0\)
\(\displaystyle \widetilde{H}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)=6\sqrt{2}>0\)
したがって、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\)では極小
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\)では極大
よって、
\((1,0),(0,1)\)のとき、極大値\(1\)
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、極大値\(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\((-1,0),(0,-1)\)のとき、極小値\(-1\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\varphi_x(x,y)=2x=0\)
\(\varphi_y(x,y)=2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)\neq0\)より、特異点をもたない。
条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=x^3+y^3\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^3+y^3-\lambda(x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=3x^2-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=3y^2-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(0,1,\frac{3}{2}\right),\left(0,-1,-\frac{3}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(1,0,\frac{3}{2}\right),\left(-1,0,-\frac{3}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)\)
そこで、点\(\displaystyle \left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)が極値をとるかどうか調べる。縁付きヘッセ行列は
\(\widetilde{H}(x,y,\lambda)=\begin{vmatrix}0 & \varphi_x & \varphi_y \\ \varphi_x & F_{xx} & F_{xy} \\ \varphi_y & F_{yx} & F_{yy}\end{vmatrix}\)
\(=\begin{vmatrix}0 & 2x & 2y \\ 2x & 6x-2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 6y-2\lambda\end{vmatrix}\)
\(=-4y^2(6x-2\lambda)-4x^2(6y-2\lambda)\)
すなわち
\(\displaystyle \widetilde{H}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)=-6\sqrt{2}<0\)
\(\displaystyle \widetilde{H}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)=6\sqrt{2}>0\)
したがって、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\)では極小
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\)では極大
よって、
\((1,0),(0,1)\)のとき、極大値\(1\)
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、極大値\(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\((-1,0),(0,-1)\)のとき、極小値\(-1\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
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