【微分積分】7-8-2 条件式が有界閉集合の計算｜問題集

条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=x^2+3y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^2+3y^2-\lambda(x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2x-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=6y-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,\lambda)=(1,0,1),(-1,0,1),(0,1,3),(0,-1,3)\)
よって、
\((0,1),(0,-1)\)のとき、最大値\(3\)
\((1,0),(-1,0)\)のとき、最小値\(1\)

条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-4=0\)
\(f(x,y)=x^2+y^2-2x\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^2+y^2-2x-\lambda(x^2+y^2-4)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2x-2-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2y-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-4)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(2,0,\frac{1}{2}\right),\left(-2,0,\frac{3}{2}\right)\)
よって、
\((-2,0)\)のとき、最大値\(8\)
\((2,0)\)のとき、最小値\(0\)

条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=xy+x+y\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=xy+x+y-\lambda(x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=y+1-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=x+1-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(0,-1,-\frac{1}{2}\right),\left(-1,0,-\frac{1}{2}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)\)
よって、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{2}\)
\((0,-1),(-1,0)\)のとき、最小値\(-1\)

条件式を
\(\varphi(x,y)=2x+3y-12=0\)
\(f(x,y)=xy\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=xy-\lambda(2x+3y-12)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=y-2\lambda=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=x-3\lambda=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(2x+3y-12)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,\lambda)=(3,2,1)\)
よって、
\((3,2)\)のとき、最大値\(6\)

条件式を
\(\varphi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)
\(f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,z,\lambda)\)
\(=f(x,y,z)-\lambda\varphi(x,y,z)\)
\(=x^2+2y^2+3z^2-\lambda(x^2+y^2+z^2-1)\)
\(F(x,y,z,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,z,\lambda)=2x-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,z,\lambda)=4y-2\lambda y=0\)
\(F_z(x,y,z,\lambda)=6z-2\lambda z=0\)
\(F_\lambda(x,y,z,\lambda)=-(x^2+y^2+z^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,z,\lambda)=(1,0,0,1),(-1,0,0,1),\)
\(\ \ \ \ \ (0,1,0,2),(0,-1,0,2),(0,0,1,3),(0,0,-1,3)\)
よって、
\((0,0,1),(0,0,-1)\)のとき、最大値\(3\)
\((1,0,0),(-1,0,0)\)のとき、最小値\(1\)