【微分積分】7-8-4 点と直線・点と平面の距離公式｜問題集

\(\displaystyle \varphi(x,y)=x^2+xy+y^2-\frac{1}{4}=0\)のもとで\(f(x,y)=x^2+y^2\)の最小値の平方根が求める距離になる。
条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+xy+y^2-\frac{1}{4}=0\)
\(f(x,y)=x^2+y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(\displaystyle =x^2+y^2-\lambda(x^2+xy+y^2-\frac{1}{4})\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2x-\lambda(2x+y)=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2y-\lambda(x+2y)=0\)
\(\displaystyle F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+xy+y^2-\frac{1}{4})=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\pm\frac{1}{2\sqrt{3}},\pm\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{2}{3}\right)\)
よって、
垂線の足の座標\(\displaystyle :\left(\pm\frac{1}{2\sqrt{3}},\pm\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)\)
原点と楕円の最短距離\(\displaystyle :\frac{1}{\sqrt{6}}\)