【微分積分】7-8-4 点と直線・点と平面の距離公式｜要点まとめ
このページでは、大学数学で扱う「点と直線」「点と平面」の距離公式について解説します。ラグランジュの未定乗数法を利用した距離（最小値）の導出プロセスのほか、垂線の足の座標や距離を求める具体的な例題とその解答・解説をまとめています。
点と直線の距離公式
【点と直線の距離公式】
\((a,b)\neq(0,0)\)とする。\(xy\)平面において点\(A(x_0,y_0)\)からの直線\(l:ax+by+c=0\)に下ろした垂線の足を\(H\)とする。このとき、線分\(AH\)の長さ\(d\)を点\(A\)と直線\(l\)の距離といい、
\(\displaystyle d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
が成り立つ。
【例題】次の問いに答えなさい。
点\((3,4)\)から直線\(2x-3y+1=0\)に下ろした垂線の足の座標と直線の距離を求めなさい。
\(\varphi(x,y)=2x-3y+1=0\)のもとで\(f(x,y)=(x-3)^2+(y-4)^2\)の最小値の平方根が求める距離になる。
条件式を
\(\varphi(x,y)=2x-3y+1=0\)
\(f(x,y)=(x-3)^2+(y-4)^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=(x-3)^2+(y-4)^2-\lambda(2x-3y+1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2(x-3)-2\lambda=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2(y-4)+3\lambda=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(2x-3y+1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\frac{49}{13},\frac{37}{13},\frac{10}{13}\right)\)
よって、
垂線の足の座標\(\displaystyle :\left(\frac{49}{13},\frac{37}{13}\right)\)のとき、点と直線の距離\(\displaystyle \frac{5}{\sqrt{13}}\)
条件式を
\(\varphi(x,y)=2x-3y+1=0\)
\(f(x,y)=(x-3)^2+(y-4)^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=(x-3)^2+(y-4)^2-\lambda(2x-3y+1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2(x-3)-2\lambda=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2(y-4)+3\lambda=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(2x-3y+1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\frac{49}{13},\frac{37}{13},\frac{10}{13}\right)\)
よって、
垂線の足の座標\(\displaystyle :\left(\frac{49}{13},\frac{37}{13}\right)\)のとき、点と直線の距離\(\displaystyle \frac{5}{\sqrt{13}}\)
点と平面の距離公式
【点と平面の距離公式】
\((a,b,c)\neq(0,0,0)\)とする。\(xyz\)空間において点\(A(x_0,y_0,z_0)\)からの平面\(\alpha:ax+by+cz+d=0\)に下ろした垂線の足を\(H\)とする。このとき、線分\(AH\)の長さを点\(A\)と平面\(\alpha\)の距離といい、
\(\displaystyle \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
で与えられる。
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