【微分積分】7-8-3 条件式が非有界閉集合の計算｜問題集

\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=2x=0\)
\(\varphi_y(x,y)=2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)\neq0\)より、特異点をもたない。

また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=xy^3\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=xy^3-\lambda(x^2+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=y^3-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=3xy^2-2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=(1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0),(0,-1,0),\)
\(\displaystyle \ \ \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3\sqrt{3}}{8}\right),\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right),\)
\(\displaystyle \ \ \left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right),\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)\)
よって、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{16}\)
\(\displaystyle \left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{3\sqrt{3}}{16}\)

\(\varphi(x,y)=x^3+y^3-6xy=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=3x^2-6y=0\)
\(\varphi_y(x,y)=3y^2-6x=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0),(2,2)\)
\(\varphi(0,0)=0\)より、特異点をもつ。

また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^3+y^3-6xy=0\)
\(f(x,y)=x^2+y^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^2+y^2-\lambda(x^3+y^3-6xy)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2x-\lambda(3x^2-6y)=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2y-\lambda(3y^2-6x)=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^3+y^3-6xy)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(3,3,\frac{2}{3}\right)\)
よって、
\((3,3)\)のとき、最大値\(18\)
\((0,0)\)のとき、最小値\(0\)

\(\varphi(x,y)=x^2-xy+y^2-1=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=2x-y=0\)
\(\varphi_y(x,y)=-x+2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)\neq0\)より、特異点をもたない。

また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2-xy+y^2-1=0\)
\(f(x,y)=xy\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=xy-\lambda(x^2-xy+y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=y-\lambda(2x-y)=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=x-\lambda(-x+2y)=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2-xy+y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,\lambda)=(1,1,1),(-1,-1,1),\)
\(\displaystyle \ \ \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{3}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{3}\right)\)
よって、
\((1,1),(-1,-1)\)のとき、最大値\(1\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{1}{3}\)

\(\displaystyle \varphi(x,y)=x^2-\frac{y^2}{4}-1=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=2x=0\)
\(\displaystyle \varphi_y(x,y)=-\frac{y}{2}=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)\neq0\)より、特異点をもたない。

また、条件式を
\(\displaystyle \varphi(x,y)=x^2-\frac{y^2}{4}-1=0\)
\(f(x,y)=x^3+y\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(\displaystyle =x^3+y-\lambda\left(x^2-\frac{y^2}{4}-1\right)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=3x^2-2\lambda x=0\)
\(\displaystyle F_y(x,y,\lambda)=1+\frac{\lambda y}{2}=0\)
\(\displaystyle F_\lambda(x,y,\lambda)=-\left(x^2-\frac{y^2}{4}-1\right)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}},\sqrt{3}\right),\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}},-\sqrt{3}\right)\)
よって、
\(\displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)のとき、極大値\(\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{9}\)
\(\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{3}},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}\)

\(\varphi(x,y)=x^2-y^2-1=0\)の特異点を求める。
\(\varphi_x(x,y)=2x=0\)
\(\varphi_y(x,y)=-2y=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y)=(0,0)\)
\(\varphi(0,0)\neq0\)より、特異点をもたない。

また、条件式を
\(\varphi(x,y)=x^2-y^2-1=0\)
\(f(x,y)=x^2+(y-1)^2\)
とおく。ラグランジュの未定乗数法より、
\(F(x,y,\lambda)\)
\(=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)\)
\(=x^2+(y-1)^2-\lambda(x^2-y^2-1)\)
\(F(x,y,\lambda)\)の偏導関数を求めると
\(F_x(x,y,\lambda)=2x-2\lambda x=0\)
\(F_y(x,y,\lambda)=2(y-1)+2\lambda y=0\)
\(F_\lambda(x,y,\lambda)=-(x^2-y^2-1)=0\)
連立方程式を解くと、
\(\displaystyle (x,y,\lambda)=\left(\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{1}{2},1\right),\left(-\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{1}{2},1\right)\)
よって、
\(\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{1}{2}\right)\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{3}{2}\)

\(f_x(x,y)=4xe^{-x^2-y^2}-2x(2x^2+y^2)e^{-x^2-y^2}=0\)
\(f_y(x,y)=2ye^{-x^2-y^2}-2y(2x^2+y^2)e^{-x^2-y^2}=0\)
停留点は\((0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)\)
\(f_{xx}=2e^{-x^2-y^2}(4x^4+2x^2y^2-10x^2-y^2+2)\)
\(f_{yy}=2e^{-x^2-y^2}(2x^2y^2+y^4-2x^2-5y^2+1)\)
\(f_{xy}=4xye^{-x^2-y^2}(2x^2+y^2-3)\)
・\((0,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\det H_f(0,0)=8>0\)
また、\(f_{xx}(0,0)=4>0\)なので、極小。
・\((\pm1,0)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f(\pm1,0)=\frac{16}{e^2}>0\)
また、\(\displaystyle f_{xx}(\pm1,0)=-\frac{8}{e}<0\)なので、極大。
・\((0,\pm1)\)のとき
ヘッシアンは
\(\displaystyle \det H_f(0,\pm1)=-\frac{16}{e^2}<0\)なので、極値をとらない。
よって、
\((\pm1,0)\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{2}{e}\)
\((0,0)\)のとき、極小値\(0\)

全ての\((x,y)\in\mathbb{R}^2\)に対して
\(f(x,y)=(2x^2+y^2)e^{-x^2-y^2}\geqq0\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと\(r\to\infty\)のとき\(f(x,y)\to0\)となる。
したがって、\(f(x,y)\)は\(\mathbb{R}^2\)上で最大値をもち、その最大値は停留点における値のいずれかと一致する。
停留点は
\(f(0,0)=0\)
\(\displaystyle f(0,\pm1)=\frac{1}{e}\)
\(\displaystyle f(\pm1,0)=\frac{2}{e}\)
よって、
\((\pm1,0)\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{2}{e}\)