【微分積分】7-8-5 3変数関数の極値｜問題集

\(f_x(x,y,z)=\{2ax-2x(ax^2+by^2+cz^2)\}e^{-x^2-y^2-z^2}=0\)
\(f_y(x,y,z)=\{2by-2y(ax^2+by^2+cz^2)\}e^{-x^2-y^2-z^2}=0\)
\(f_z(x,y,z)=\{2cz-2z(ax^2+by^2+cz^2)\}e^{-x^2-y^2-z^2}=0\)
連立方程式を解くと、
\((x,y,z)=(0,0,0),(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)\)
停留点は\((0,0,0),(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)\)
\(f_{xx}=(2a-6ax^2-2by^2-2cz^2)e^{-x^2-y^2-z^2}-2xf_x(x,y,z)\)
\(f_{yy}=(2b-2ax^2-6by^2-2cz^2)e^{-x^2-y^2-z^2}-2yf_y(x,y,z)\)
\(f_{zz}=(2c-2ax^2-2by^2-6cz^2)e^{-x^2-y^2-z^2}-2zf_z(x,y,z)\)
\(f_{xy}=-4bxye^{-x^2-y^2-z^2}-2yf_x(x,y,z)\)
\(f_{yz}=-4cyze^{-x^2-y^2-z^2}-2zf_y(x,y,z)\)
\(f_{xz}=-4axze^{-x^2-y^2-z^2}-2xf_z(x,y,z)\)
ヘッセ行列は
\(H_f(x,y,z)=\begin{pmatrix}f_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & f_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & f_{zz}\end{pmatrix}\)
・\((0,0,0)\)のとき
ヘッセ行列は
\(H_f(0,0,0)=\begin{pmatrix}2a & 0 & 0 \\ 0 & 2b & 0 \\ 0 & 0 & 2c\end{pmatrix}\)
固有値は全て正でヘッセ行列は正定値なので、極小。
・\((\pm1,0,0)\)のとき
ヘッセ行列は
\(H_f(\pm1,0,0)=\begin{pmatrix}-4ae^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 2(b-a)e^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 2(c-a)e^{-1}\end{pmatrix}\)
固有値は正と負の両方があるので、極値をとらない。
・\((0,\pm1,0)\)のとき
ヘッセ行列は
\(H_f(0,\pm1,0)=\begin{pmatrix}2(a-b)e^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & -4be^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 2(c-b)e^{-1}\end{pmatrix}\)
固有値は正と負の両方があるので、極値をとらない。
・\((0,0,\pm1)\)のとき
ヘッセ行列は
\(H_f(0,0,\pm1)=\begin{pmatrix}2(a-c)e^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 2(b-c)e^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & -4ce^{-1}\end{pmatrix}\)
固有値は全て負でヘッセ行列は負定値なので、極大。
よって、
\((0,0,\pm1)\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{c}{e}\)
\((0,0,0)\)のとき、極小値\(0\)