【微分積分】8-1-1 区間上の2重積分｜要点まとめ

区間上の2重積分

【リーマン和】
長方形領域\(K=[a,b]\times[c,d]\)に対して、\([a,b]\)の分割と\([c,d]\)の分割
\(\Delta_1:a=x_0< x_1< \cdots< x_{m-1}< x_m=b\)
\(\Delta_2:c=y_0< y_1< \cdots< y_{n-1}< y_n=d\)
をとり、小長方形\(K_{ij}\)を
\(K_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]\)
\((i=1,2,\cdots,m\ \ \ j=1,2,\cdots,n)\)
とおく。このような\(K\)の分け方を\(\Delta=\{(x_i,y_j)\}_{ij}\)で表し、\(K\)の分割という。また、
\(|\Delta|=\max\{|\Delta_1|,|\Delta_2|\}\)
\(\ \ \ \ \ \ =\max\{x_i-x_{i-1},y_j-y_{j-1}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ |i=1,2,\cdots,m\ \ \ j=1,2,\cdots,n\}\)
を分割\(\Delta\)の幅という。また、この小長方形の面積を
\(m(K_{ij})=(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\)
とおく。各小長方形\(K_{ij}\)から代表点\((\xi_{ij},\eta_{ij})\in K_{ij}\)を決めたとき、長方形領域\(K\)で有界な関数\(f(x,y)\)に対して
\(\displaystyle S(f;\Delta,\{(\xi_{ij},\eta_{ij})\})=\sum_{i,j}f(\xi_{ij},\eta_{ij})m(K_{ij})\)
を\((\Delta,\{(\xi_{ij},\eta_{ij})\})\)に関する\(f(x,y)\)のリーマン和という。ただし、和は\(i=1,2,\cdots,m\ \ \ j=1,2,\cdots,n\)のように小長方形すべてに関する和を表すことにする。

【2重積分の定義】
関数\(f(x,y)\)は長方形領域\(K\)上で有界であるとする。このとき、ある実数\(\alpha\)が存在して、分割\(\Delta=\{(x_i,y_j)\}_{ij}\)と代表点\(\{(\xi_{ij},\eta_{ij})\}\)の取り方によらず
\(\displaystyle \lim_{|\Delta|\to0}S(f;\Delta,\{(\xi_{ij},\eta_{ij})\})=\alpha\)
が成り立つとき、\(f(x,y)\)は\(K\)上で重積分可能であるという。このとき
\(\displaystyle \alpha=\iint_Kf(x,y)dxdy\)
と表し、これを\(f(x,y)\)の\(K\)上での重積分またはリーマン積分という。

【重積分の性質】
関数\(f(x,y)\)と\(g(x,y)\)はともに長方形領域\(K\)上で重積分可能とするとき、次が成り立つ。
(1)定数\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して、関数\(\lambda f+\mu g\)も\(K\)上で重積分可能で
\(\displaystyle \iint_K\{\lambda f(x,y)+\mu g(x,y)\}dxdy\)
\(\displaystyle =\lambda\iint_Kf(x,y)dxdy+\mu\iint_Kg(x,y)dxdy\)
(2)\(K\)上で\(f(x,y)\leqq g(x,y)\)ならば
\(\displaystyle \iint_Kf(x,y)dxdy\leqq \iint_Kg(x,y)dxdy\)
(3)関数\(|f(x,y)|\)も\(K\)上で重積分可能で
\(\displaystyle \left|\iint_Kf(x,y)dxdy\right|\leqq \iint_K|f(x,y)|dxdy\)

【連続関数の可積分性】
関数\(f(x,y)\)が長方形領域\(K\)上で連続ならば、\(K\)上で重積分可能である。

【長方形領域上の2重積分の累次化】
関数\(f(x,y)\)が長方形領域\(K=[a,b]\times[c,d]\)上で連続ならば、次の等式が成り立つ。
\(\displaystyle \iint_Kf(x,y)dxdy\)
\(\displaystyle =\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dy\right)dx\)
\(\displaystyle =\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)dx\right)dy\)
\(\displaystyle \int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dy\right)dx\)のように1変数関数の積分を連続して行うものを累次積分という。

【長方形領域上で変数分離された関数の2重積分】
\([a,b]\)上の連続関数\(\varphi(x)\)と\([c,d]\)上の連続関数\(\psi(y)\)に対して、積\(\varphi(x)\psi(y)\)の\(K=[a,b]\times[c,d]\)上の2重積分は
\(\displaystyle \iint_K\varphi(x)\psi(y)dxdy=\int_a^b\varphi(x)dx\int_c^d\psi(y)dy\)
\(f(x,y)=\varphi(x)\psi(y)\)と表されている場合、\(f(x,y)\)は変数分離形であるという。