【微分積分】8-1-2 一般集合上の2重積分｜要点まとめ
このページでは、大学数学で扱う「長方形領域（区間）上の2重積分」について解説します。リーマン和を用いた2重積分の定義から、線形性・順序性などの基本性質、累次積分（繰り返し積分）への変換手順までをまとめています。基礎を確実に理解できる例題付きです。
一般集合上の2重積分
【2重積分の定義】
\(D\)を\(\mathbb{R}^2\)の有界な部分集合とし、関数\(f(x,y)\)は\(D\)上で有界とする。このとき、\(D\subset K\)となる長方形領域\(K\)を1つとり、\(K\)上の関数\(f^*(x,y)\)を
\(f^*(x,y)=\left\{\begin{array}{l}f(x,y)\ \ ((x,y)\in D) \\ 0\ \ ((x,y)\not\in D)\end{array}\right.\)
とおく。\(f^*(x,y)\)が\(K\)上で重積分可能であるとき、\(f(x,y)\)は\(D\)上で重積分可能であるといい、その積分の値を
\(\displaystyle \iint_Df(x,y)dxdy:=\iint_Kf^*(x,y)dxdy\)
と定義する。
【面積の定義】
定数関数\(1\)が\(\mathbb{R}^2\)の有界な部分集合\(D\)上で重積分可能とするとき、\(D\)は面積確定であるといい、その面積\(|D|\)を
\(\displaystyle |D|:=\iint_D1dxdy\)
で定義する。
【面積確定の必要十分条件】
\(\mathbb{R}^2\)の有界集合\(D\)が面積確定であるための必要十分条件は、\(D\)の境界\(\partial D\)の面積が\(0\)であることである。
【重積分の性質】
関数\(f(x,y)\)と\(g(x,y)\)はともに積分領域\(D\)上で重積分可能とするとき、次が成り立つ。
(1)定数\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して、関数\(\lambda f+\mu g\)も\(D\)上で重積分可能で
\(\displaystyle \iint_D\{\lambda f(x,y)+\mu g(x,y)\}dxdy\)
\(\displaystyle =\lambda\iint_Df(x,y)dxdy+\mu\iint_Dg(x,y)dxdy\)
(2)\(D\)上で\(f(x,y)\leqq g(x,y)\)ならば
\(\displaystyle \iint_Df(x,y)dxdy\leqq \iint_Dg(x,y)dxdy\)
(3)関数\(|f(x,y)|\)も\(D\)上で重積分可能で
\(\displaystyle \left|\iint_Df(x,y)dxdy\right|\leqq \iint_D|f(x,y)|dxdy\)
【連続関数の可積分性】
関数\(f(x,y)\)が積分領域\(D\)上で連続ならば、\(D\)上で重積分可能である。
【縦線集合】
\(D\)を\(\mathbb{R}^2\)の有界集合とする。
(1)\(D\)が閉区間\([a,b]\)上で連続関数\(\varphi_1(x)\)と\(\varphi_2(x)\)を用いて
\(D=\{(x,y)|a\leqq x\leqq b,\varphi_1(x)\leqq y\leqq \varphi_2(x)\}\)
と表されるとき、\(D\)は\(y\)方向の縦線集合であるという。
(2)\(D\)が閉区間\([c,d]\)上で連続関数\(\varphi_1(y)\)と\(\varphi_2(y)\)を用いて
\(D=\{(x,y)|c\leqq y\leqq d,\varphi_1(y)\leqq x\leqq \varphi_2(y)\}\)
と表されるとき、\(D\)は\(x\)方向の縦線集合であるという。
(3)\(D\)がどちらかの変数について縦線集合であるとき、単に\(D\)を縦線集合という。
【縦線集合上の2重積分の累次化】
関数\(f(x,y)\)が積分領域\(D\)上で連続とする。
(1)\(D\)が\(y\)方向の縦線集合\(D=\{(x,y)|a\leqq x\leqq b,\varphi_1(x)\leqq y\leqq \varphi_2(x)\}\)であれば、次が成り立つ。
\(\displaystyle \iint_Df(x,y)dxdy=\int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right)dx\)
(2)\(D\)が\(x\)方向の縦線集合\(D=\{(x,y)|c\leqq y\leqq d,\varphi_1(y)\leqq x\leqq \varphi_2(y)\}\)であれば、次が成り立つ。
\(\displaystyle \iint_Df(x,y)dxdy=\int_c^d\left(\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)}f(x,y)dx\right)dy\)
【例題】次の2重積分を求めなさい。
\(D=\{(x,y)|0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq x\}\)
\(\displaystyle =\int_0^1\left[\frac{x^2y^2}{2}\right]_{y=0}^{y=x}dx\)
\(\displaystyle =\int_0^1\frac{x^4}{2}dx\)
\(\displaystyle =\left[\frac{x^5}{10}\right]_{0}^{1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{10}\)
\(D=\{(x,y)|x+y\leqq 3,0\leqq y\leqq 2x\}\)
\(\displaystyle =\int_0^2[x^2+3xy]_{x=\frac{y}{2}}^{x=3-y}dy\)
\(\displaystyle =\int_0^2\left(-\frac{15}{4}y^2+3y+9\right)dy\)
\(\displaystyle =\left[-\frac{5}{4}y^3+\frac{3}{2}y^2+9y\right]_0^2\)
\(=14\)
\(D=\{(x,y)|(x-3)^2+y^2\leqq 4,2(x-2)\leqq y,y\geqq 0\}\)
\(\displaystyle =\int_0^2\left[\frac{x^2y^2}{2}\right]_{x=3-\sqrt{4-y^2}}^{x=\frac{y+4}{2}}dy\)
\(\displaystyle =\int_0^2\left(\frac{5}{8}y^4+y^3^\frac{9}{2}y^2+3y^2\sqrt{4-y^2}\right)dy\)
\(\displaystyle =\left[\frac{1}{8}y^5+\frac{1}{4}y^4-\frac{3}{2}y^3\right]_0^2+3\int_0^2y^2\sqrt{4-y^2}dy\)
\(\displaystyle =-4+3\int_0^\frac{\pi}{2}(2\sin\theta)^2\sqrt{4-4\sin^2\theta}・2\cos\theta d\theta\)
\(\displaystyle =-4+3\int_0^\frac{\pi}{2}2(1-\cos4\theta)d\theta\)
\(\displaystyle =-4+3\left[2\theta-\frac{\sin4\theta}{2}\right]_0^\frac{\pi}{2}\)
\(=3\pi-4\)
\(D=\{(x,y)|2y^2\leqq x\leqq 2y\}\)
\(\displaystyle =\int_0^1\left[\frac{2}{3}(x-2y^2)^{\frac{3}{2}}\right]_{x=2y^2}^{x=2y}dy\)
\(\displaystyle =\int_0^1\frac{4\sqrt{2}}{3}(y-y^2)^{\frac{3}{2}}dy\)
\(\displaystyle =\int_0^1\frac{4\sqrt{2}}{3}\left\{\frac{1}{4}-\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}dy\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3\sqrt{2}}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^4\theta d\theta\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{16\sqrt{2}}\)