【微分積分】8-2-2 円の中心が原点の極座標変換｜要点まとめ
このページでは、大学数学の2重積分で頻出となる「円の中心が原点の極座標変換」について解説します。変数変換の基本公式から、\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)を用いた具体的な2重積分の計算例題・解答までを分かりやすくまとめています。
変数変換公式
【変数変換】
関数\(f(x,y)\)は積分領域\(D\)上で連続とする。また、\(C^1\)級の変換\(x=\varphi(s,t),y=\psi(s,t)\)により\(D\)は\(st\)平面の積分領域\(E\)と1対1に対応するとする。この変換のヤコビアンが\(\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\neq0\)をみたすならば
\(\displaystyle \iint_Df(x,y)dxdy\)
\(\displaystyle \ \ =\iint_Ef(\varphi(s,t),\psi(s,t))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\right|dsdt\)
が成り立つ。
【極座標変換】
\(D\)は\(xy\)平面の積分領域とし、関数\(f(x,y)\)は\(D\)上で連続とする。極座標変換\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)により\(D\)は\(r\theta\)平面の積分領域\(E\)と1対1に対応するとする。このとき
\(\displaystyle \iint_Df(x,y)dxdy\)
\(\displaystyle \ \ =\iint_Ef(r\cos\theta,r\sin\theta)・rdrd\theta\)
となる。
【例題】次の2重積分を求めなさい。
\(D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqq a^2\}\)
\(\displaystyle E=\{(r,\theta)|0\leqq r\leqq a,0\leqq \theta\leqq 2\pi\}\)
よって
\(\displaystyle \iint_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy\)
\(\displaystyle =\iint_E\sqrt{a^2-r^2}rdrd\theta\)
\(\displaystyle =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^ar\sqrt{a^2-r^2}dr\)
\(\displaystyle =2\pi\left[-\frac{1}{3}(a^2-r^2)^\frac{3}{2}\right]_0^a\)
\(\displaystyle =\frac{2\pi}{3}a^3\)
\(D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqq 4,x\geqq0,y\geqq0\}\)
\(\displaystyle E=\left\{(r,\theta)|0\leqq r\leqq 2,0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{2}\right\}\)
よって
\(\displaystyle \iint_Dy(x^2+y^2)^2dxdy\)
\(\displaystyle =\iint_E(r\sin\theta)r^4・rdrd\theta\)
\(\displaystyle =\int_0^2r^6dr\int_0^\frac{\pi}{2}\sin\thetad\theta\)
\(\displaystyle =\left[\frac{r^7}{7}\right]_0^2[-\cos\theta]_0^\frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{128}{7}\)
\(D=\{(x,y)|1\leqq x^2+y^2\leqq e^2,-x\leqq y\leqq \sqrt{3}x\}\)
\(\displaystyle E=\left\{(r,\theta)|1\leqq r\leqq e,-\frac{\pi}{4}\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{3}\right\}\)
よって
\(\displaystyle \iint_D\frac{\log(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy\)
\(\displaystyle =\iint_E\frac{\log r^2}{r}・rdrd\theta\)
\(\displaystyle =2\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{3}d\theta\int_1^e\log rdr\)
\(\displaystyle =2・\frac{7\pi}{12}[r\log r-r]_1^e\)
\(\displaystyle =\frac{7}{6}\pi\)
\(D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqq 1,0\leqq y\leqq x\}\)
\(\displaystyle E=\left\{(r,\theta)|0\leqq r\leqq 1,0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{4}\right\}\)
よって
\(\displaystyle \iint_D\log(1+x^2+y^2)dxdy\)
\(\displaystyle =\iint_E\log(1+r^2)・rdrd\theta\)
\(\displaystyle =\int_0^\frac{\pi}{4}d\theta\int_0^1r\log(1+r^2)dr\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{4}\left(\left[\frac{1+r^2}{2}\log(1+r^2)\right]_0^1-\int_0^1rdr\right)\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{4}\left(\log2-\frac{1}{2}\right)\)
\(D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqq 1\}\)
\(\displaystyle E=\left\{(r,\theta)|0\leqq r\leqq 1,0\leqq \theta\leqq 2\pi\right\}\)
よって
\(\displaystyle \iint_D\sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}dxdy\)
\(\displaystyle =\iint_E\sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}}・rdrd\theta\)
\(\displaystyle =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r\sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}}dr\)
\(\displaystyle =2\pi\int_0^1r\sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}}dr\)
\(\displaystyle =2\pi\int_1^0t・\frac{-2t}{(1+t^2)^2}dt\)
\(\displaystyle =-\pi+2\pi[\tan^{-1}t]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{\pi^2}{2}-\pi\)