【微分積分】8-2-2 円の中心が原点の極座標変換｜要点まとめ
このページでは、大学数学の2重積分・多重積分で非常に重要な「ヤコビアン（ヤコビ行列式）」について解説します。2変数関数の変数変換における定義式から、具体的な行列式の計算例題・解答までをまとめています。
ヤコビアン
【ヤコビアン】
\(u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)\)がともに\(C^1\)級であるとき、次の行列式
\(\displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\varphi_x(x,y) & \varphi_y(x,y) \\ \psi_x(x,y) & \psi_y(x,y)\end{vmatrix}\)
を写像\((x,y)\to(u,v)=(\varphi(x,y),\psi(x,y))\)のヤコビアンという。
【例題】次の写像のヤコビアンを求めなさい。
\(u=ax+by,v=cx+dy\)
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=a\)
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=b\)
\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=c\)
\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=d\)
よって、ヤコビアンは
\(\displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc\)
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=b\)
\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=c\)
\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=d\)
よって、ヤコビアンは
\(\displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc\)
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