【微分積分】8-3-2 3重積分の変数変換｜要点まとめ

3重積分の変数変換

【3変数関数のヤコビアン】
\(u=\varphi(x,y,z),v=\psi(x,y,z),w=\eta(x,y,z)\)が全て\(C^1\)級であるとき、次の行列式
\(\displaystyle \frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}=\begin{vmatrix}u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z\end{vmatrix}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\begin{vmatrix}\varphi_x(x,y,z) & \varphi_y(x,y,z) & \varphi_z(x,y,z) \\ \psi_x(x,y,z) & \psi_y(x,y,z) & \psi_z(x,y,z) \\ \eta_x(x,y,z) & \eta_y(x,y,z) & \eta_z(x,y,z)\end{vmatrix}\)
を写像\((x,y,z)\to(u,v,w)=(\varphi(x,y,z),\psi(x,y,z),\eta(x,y,z))\)のヤコビアンという。

【3変数関数の変数変換】
関数\(f(x,y,z)\)は積分領域\(\Omega\)上で連続とする。また、\(C^1\)級の変換\(x=\varphi(s,t,u),y=\psi(s,t,u),z=\chi(s,t,u)\)により\(\Omega\)は\(stu\)空間の積分領域\(\Gamma\)と1対1に対応するとする。この変換のヤコビアンが\(\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\neq0\)をみたすならば
\(\displaystyle \iint_\Omega f(x,y,z)dxdydz\)
\(\displaystyle \ \ =\iint_\Gamma f(\varphi(s,t,u),\psi(s,t,u),\chi(s,t,u))\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\right|dsdtdu\)
が成り立つ。

【3変数関数の極座標変換】
\(\Omega\)は\(xyz\)平面の積分領域とし、関数\(f(x,y,z)\)は\(\Omega\)上で連続とする。極座標変換
\(x=r\sin\theta\cos\varphi,y=r\sin\theta\sin\varphi,z=r\cos\theta\)
により\(\Omega\)は\(r\theta\varphi\)空間の積分領域\(\Gamma\)と1対1に対応するとする。このとき
\(\displaystyle \iint_\Omega f(x,y,z)dxdydz\)
\(\displaystyle \ \ =\iint_\Gamma f(r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\theta)・r^2\sin\theta drd\theta d\varphi\)
となる。