【微分積分】8-3-1 3重積分の定義｜要点まとめ
このページでは、大学数学で重要となる「3重積分の定義」や直方体領域・縦線集合における累次積分の計算方法について解説します。具体的な例題と詳細な解答付きで分かりやすくまとめています。
3重積分の定義
【3重積分の定義】
直方体領域
\(K=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3]=\{(x,y,z)|\)
\(\ \ \ a_1\leqq x\leqq b_1,a_2\leqq y\leqq b_2,a_3\leqq z\leqq b_3\}\)
上で有界な関数\(f(x,y,z)\)に対して、\(K\)の分割を細かくするときにリーマン和が一定の値に収束するとき、\(f(x,y,z)\)は\(K\)上で重積分可能といい、その極限値を\(\displaystyle \iiint_Kf(x,y,z)dxdydz\)と表す。\(\mathbb{R}^3\)の有界集合\(\Omega\)上の積分も同様に定義される。
【体積の定義】
定数関数\(1\)が\(\mathbb{R}^3\)の有界な部分集合\(\Omega\)上で重積分可能であるときに、\(\Omega\)は体積確定であるといい、その体積\(|\Omega|\)を
\(\displaystyle |\Omega|:=\iint_\Omega1dxdydz\)
で定義する。
【直方体領域上の3重積分の累次化】
関数\(f(x,y,z)\)が直方体領域\(K=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3]\)上で連続であれば
\(\displaystyle \iiint_Kf(x,y,z)dxdydz\)
\(\displaystyle \ \ \ =\int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_3}^{b_3}f(x,y,z)dzdydx\)
が成り立つ。
【例題】次の3重積分を求めなさい。
\(K=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\)
\(\displaystyle =\int_0^1\int_0^1\left[\frac{(x+y+z)^3}{3}\right]_0^1dydz\)
\(\displaystyle =\int_0^1\int_0^1\frac{(1+y+z)^3-(y+z)^3}{3}dydz\)
\(\displaystyle =\int_0^1\left[\frac{(1+y+z)^4-(y+z)^4}{12}\right]_0^1dz\)
\(\displaystyle =\int_0^1\frac{(2+z)^4-2(1+z)^4+z^4}{12}dz\)
\(\displaystyle =\left[\frac{(2+z)^5-2(1+z)^5+z^5}{60}\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{5}{2}\)
\(\displaystyle K=[0,\pi]\times\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\times\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\)
\(\displaystyle =\int_0^\frac{\pi}{6}\int_0^\frac{\pi}{2}[-\cos(x+y+z)]_0^\pi dydz\)
\(\displaystyle =\int_0^\frac{\pi}{6}\int_0^\frac{\pi}{2}\{-\cos(\pi+y+z)+\cos(y+z)\}dydz\)
\(\displaystyle =\int_0^\frac{\pi}{6}\int_0^\frac{\pi}{2}2\cos(y+z)dydz\)
\(\displaystyle =2\int_0^\frac{\pi}{6}[\sin(y+z)]_0^\frac{\pi}{2}dz\)
\(\displaystyle =2\int_0^\frac{\pi}{6}\left\{\sin\left(\frac{\pi}{2}+z\right)-\sin z\right\}dz\)
\(\displaystyle =2\int_0^\frac{\pi}{6}(\cos z-\sin z)dz\)
\(\displaystyle =2[\sin z+\cos z]_0^\frac{\pi}{6}\)
\(=\sqrt{3}-1\)
縦線集合上の3重積分
【縦線集合上の3重積分の累次化】
関数\(f(x,y,z)\)は\(\mathbb{R}^3\)の積分領域\(\Omega\)上で連続とする。
(1)\(xy\)平面の積分領域\(D\)と\(D\)上の連続関数\(\varphi_1(x,y),\varphi_2(x,y)\)により、\(\Omega\)が\(z\)方向の縦線集合
\(\Omega=\{(x,y,z)\)
\(\ \ \ |(x,y)\in D,\varphi_1(x,y)\leqq z\leqq \varphi_2(x,y)\}\)
として表されるとき
\(\displaystyle \iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz\)
\(\displaystyle \ \ \ =\iint_D\left(\int_{\varphi_1(x,y)}^{\varphi_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)dxdy\)
が成り立つ。
(2)\(z\in[a,b]\)をパラメータとする\(xy\)平面の積分領域\(D_z\)により、\(\Omega\)が
\(\Omega=\{(x,y,z)|a\leqq z\leqq b,(x,y)\in D_z\}\)
として表されるとき
\(\displaystyle \iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz\)
\(\displaystyle \ \ \ =\int_a^b\left(\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy\right)dz\)
が成り立つ。
【例題】次の3重積分を求めなさい。
\(\Omega=\{(x,y,z)|x\geqq0,y\geqq0,z\geqq0,x+y+z\leqq1\}\)
\(\Omega=\{(x,y,z)|0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq 1-x,0\leqq z\leqq 1-x-y\}\)
と表されるので
\(\displaystyle \iiint_\Omega zdxdydz\) \(\displaystyle =\int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y}zdzdydx\)
\(\displaystyle =\int_0^1\int_0^{1-x}\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{1-x-y}dydx\)
\(\displaystyle =\int_0^1\int_0^{1-x}\frac{(1-x-y)^2}{2}dydx\)
\(\displaystyle =\int_0^1\left[-\frac{(1-x-y)^3}{6}\right]_0^{1-x}dx\)
\(\displaystyle =\int_0^1\frac{(1-x)^3}{6}dx\)
\(\displaystyle =\left[-\frac{(1-x)^4}{24}\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{24}\)