【微分積分】8-3-3 球と楕円体の体積｜問題集

\(\Omega\)を定める不等式を行列\(A\)で表すと、
\(A=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}\)
固有方程式\(\det(\lambda E-A)=0\)を解くと、
\(\displaystyle \begin{vmatrix}\lambda-3 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-3 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-3\end{vmatrix}=0\)
\(\lambda^3-9\lambda^2+24\lambda-20=0\)
\((\lambda-2)^2(\lambda-5)=0\)
すなわち、固有値は
\(\lambda_1=2,\lambda_2=2,\lambda_3=5\)
\(\Omega\)を変数変換すると
\(\displaystyle \Gamma=\{(X,Y,Z)|2X^2+2Y^2+5Z^2\leqq 1\}\)
よって、 \(\displaystyle V=\iiint_\Omega dxdydz\)
\(\displaystyle =\iiint_\Gamma dXdYdZ\)
\(\displaystyle =|\Gamma|\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}\pi・\frac{1}{\sqrt{2}}・\frac{1}{\sqrt{2}}・\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle =\frac{2\sqrt{5}}{15}\pi\)