【微分積分】8-4-1 定符号関数の広義重積分｜要点まとめ
このページでは、3重積分（極座標変換および変数変換）を用いて「球」および「楕円体」の体積公式を導出する方法を解説します。ヤコビアンの計算過程を含めた具体的な例題と詳細な解答を掲載しています。
球と楕円体の体積
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)半径\(a\)の球\(B_a=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leqq a^2\}\)の体積\(V\)を求めなさい。
求める体積は
\(V=\iiint_{B_a}dxdydz\)
\(B_a\)を極座標変換すると
\(\displaystyle K=\{(r,\theta,\varphi)|0\leqq r\leqq a,0\leqq \theta\leqq \pi,0\leqq \varphi\leqq 2\pi\}\)
ヤコビアンは
\(\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=r^2\sin\theta\)
よって
\(\displaystyle \iiint_{B_a}dxdydz\)
\(\displaystyle =\iiint_Kr^2\sin\theta drd\theta d\varphi\)
\(\displaystyle =\int_0^ar^2dr\int_0^\pi\sin\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi\)
\(\displaystyle =\frac{a^3}{3}・2・2\pi\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}\pi a^3\)
\(V=\iiint_{B_a}dxdydz\)
\(B_a\)を極座標変換すると
\(\displaystyle K=\{(r,\theta,\varphi)|0\leqq r\leqq a,0\leqq \theta\leqq \pi,0\leqq \varphi\leqq 2\pi\}\)
ヤコビアンは
\(\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=r^2\sin\theta\)
よって
\(\displaystyle \iiint_{B_a}dxdydz\)
\(\displaystyle =\iiint_Kr^2\sin\theta drd\theta d\varphi\)
\(\displaystyle =\int_0^ar^2dr\int_0^\pi\sin\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi\)
\(\displaystyle =\frac{a^3}{3}・2・2\pi\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}\pi a^3\)
(2)楕円体\(\Omega=\left\{(x,y,z)|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leqq 1\right\}\)の体積\(V\)を求めなさい。
求める体積は
\(V=\iiint_\Omega dxdydz\)
\(\Omega\)を\(\displaystyle u=\frac{x}{a},v=\frac{y}{b},w=\frac{z}{c}\)で変数変換すると
\(\displaystyle B=\{(u,v,w)|u^2+v^2+w^2\leqq 1\}\)
ヤコビアンは
\(\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=abc\)
よって
\(\displaystyle \iiint_\Omega dxdydz\)
\(\displaystyle =\iiint_Babc dudvdw\)
\(\displaystyle =abc|B|\)
\(\displaystyle =abc・\frac{4}{3}\pi\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}\pi abc\)
\(V=\iiint_\Omega dxdydz\)
\(\Omega\)を\(\displaystyle u=\frac{x}{a},v=\frac{y}{b},w=\frac{z}{c}\)で変数変換すると
\(\displaystyle B=\{(u,v,w)|u^2+v^2+w^2\leqq 1\}\)
ヤコビアンは
\(\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=abc\)
よって
\(\displaystyle \iiint_\Omega dxdydz\)
\(\displaystyle =\iiint_Babc dudvdw\)
\(\displaystyle =abc|B|\)
\(\displaystyle =abc・\frac{4}{3}\pi\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}\pi abc\)
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