【微分積分】8-4-2 不定符号関数の広義重積分｜要点まとめ

\(\displaystyle \iint_D\frac{2x-y}{x^2+y^2}dxdy\)が絶対収束する確認する。
シュワルツの不等式より\(D\)上で
\(\displaystyle \left|\frac{2x-y}{x^2+y^2}\right|=\frac{|2x-y|}{x^2+y^2}\leqq\frac{\sqrt{5}\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(D\)の近似増加列を\(\{D_n\}_{n=1}^\infty\)とすると
\(\displaystyle D_n=\left\{(x,y)|\frac{1}{n^2}\leqq x^2+y^2\leqq 1,x\geqq0,y\geqq0\right\}\)
\(D_n\)を極座標変換すると
\(\displaystyle E_n=\left\{(r,\theta)|\frac{1}{n}\leqq r\leqq 1,0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{2}\right\}\)
\(\displaystyle \iint_{D_n}\frac{1}{x^2+y^2}dxdy\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\iint_{E_n}\frac{1}{\sqrt{r^2}}・rdrd\theta\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\int_\frac{1}{n}^1dr\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{2}\)
より、定符号関数\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{x^2+y^2}dxdy\)は\(D\)上で広義重積分可能
すなわち、比較判定法より\(\displaystyle \iint_D\left|\frac{2x-y}{x^2+y^2}\right|dxdy\)も収束する。

求める広義重積分は
\(\displaystyle \iint_D\frac{2x-y}{x^2+y^2}dxdy\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\iint_{E_n}\frac{r(2\cos\theta-\sin\theta)}{r^2}・rdrd\theta\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\int_\frac{1}{n}^1dr\int_0^\frac{\pi}{2}(2\cos\theta-\sin\theta)d\theta\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)[2\sin\theta+\cos\theta]_0^\frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)\)
\(\displaystyle =1\)