【微分積分】8-5-3 回転体の側面積｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「回転体の側面積」について解説します。曲線\(y=f(x)\)を\(x\)軸のまわりに回転させてできる回転面の公式を整理し、実践的な例題（\(\sin x\)の回転面）と丁寧な解答・解説を掲載しています。
回転体の側面積
【回転体の側面積】
関数\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)上で、\(C^1\)級とする。このとき、曲線\(y=f(x)\ (a\leqq x\leqq b)\)を\(x\)軸のまわりに1回転して得られる回転面の面積\(S\)は次で与えられる。
\(\displaystyle S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx\)
【例題】次の回転体の表面積を求めなさい。
(1)\(y=\sin x\ (0\leqq x\leqq \pi)\)
求める曲面積は
\(\displaystyle S=2\pi\int_0^\pi\sin x\sqrt{1+\cos^2x}dx\)
\(\displaystyle =4\pi\int_0^1\sqrt{1+t^2}dt\)
\(\displaystyle =2\pi\{\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})\}\)
\(\displaystyle S=2\pi\int_0^\pi\sin x\sqrt{1+\cos^2x}dx\)
\(\displaystyle =4\pi\int_0^1\sqrt{1+t^2}dt\)
\(\displaystyle =2\pi\{\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})\}\)
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