【微分積分】8-5-5 積分記号下の微積分｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「積分記号下の微積分」の要点を解説します。パラメータを含む定積分や広義積分における微分と積分の順序交換可能性、一様収束性（ワイエルシュトラスのMテスト等）の条件を整理し、実践的な例題と丁寧な解答・解説を掲載しています。
被積分関数の定積分
【被積分関数の定積分】
関数\(f(x,t)\)は領域\(K=[a,b]\times[\alpha,\beta]\)上で連続であるとする。このとき、
\(\displaystyle F(t)=\int_a^bf(x,t)dx\)
は\([\alpha,\beta]\)上の連続関数である。
【積分記号下の微分法】
関数\(f(x,t)\)は領域\(K=[a,b]\times[\alpha,\beta]\)上の連続関数で、さらに偏導関数\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\)も\(K\)上で連続であるとする。このとき、関数
\(\displaystyle F(t)=\int_a^bf(x,t)dx\)
は\([\alpha,\beta]\)上で微分可能で
\(\displaystyle F'(t)=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx\ \ (t\in[\alpha,\beta])\)
が成り立つ。
被積分関数の広義積分
【パラメータに関する一様収束性】
\(f(x,t)\)を領域\(D=[a,\infty)\times[\alpha,\beta]\)上の関数とする。任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(L=L(\varepsilon)>0\)が存在して
\(b\geqq L(\varepsilon),\ \ t\in[\alpha,\beta]\)
\(\displaystyle \Longrightarrow \left|\int_a^\infty f(x,t)dx-\int_a^bf(x,t)dx\right|< \varepsilon\)
が成り立つとき、広義積分\(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t)dx\)は\(t\)について一様収束するという。
【広義積分が一様収束するための十分条件】
\(f(x,t)\)を領域\(D=[a,\infty)\times[\alpha,\beta]\)上の連続関数とする。次の2条件
\(|f(x,t)|\leqq g(x)\ \ ((x,t)\in D)\)
\(\displaystyle \int_a^\infty g(x)dx:\)収束
を満たす\([a,\infty)\)上の関数\(g(x)\)が存在するならば、広義積分\(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t)dx\)は\(t\)について一様収束する。
【一様収束する広義積分で定められた関数の連続性】
関数\(f(x,t)\)は領域\(D=[a,\infty)\times[\alpha,\beta]\)上で連続であるとする。このとき、広義積分\(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t)dx\)が\(t\)について一様収束するならば、
\(\displaystyle F(t)=\int_a^\infty f(x,t)dx\)
は\([\alpha,\beta]\)上の連続関数である。
【一様収束する広義積分下の積分法】
関数\(f(x,t)\)は領域\(D=[a,\infty)\times[\alpha,\beta]\)上で連続であるとする。このとき、広義積分\(\displaystyle \int_a^\infty f(x,t)dx\)が\(t\)について一様収束するならば、関数\(\displaystyle F(t)=\int_a^\infty f(x,t)dx\)は\([\alpha,\beta]\)上で積分可能で
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta F(t)dt=\int_a^\infty\int_\alpha^\beta f(x,t)dtdx\)
が成り立つ。
【一様収束する広義積分下の微分法】
関数\(f(x,t)\)は領域\(D=[a,\infty)\times[\alpha,\beta]\)上で連続で偏導関数\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\)も\(D\)上で連続であるとする。このとき、広義積分\(\displaystyle \int_a^\infty \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx\)が\(t\)について一様収束するならば、関数
\(\displaystyle F(t)=\int_a^\infty f(x,t)dx\)
は\([\alpha,\beta]\)上で微分可能で
\(\displaystyle F'(t)=\int_a^\infty\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx\ \ (t\in[\alpha,\beta])\)
が成り立つ。
【例題】\(a>0\)のとき、次の値を求めなさい。
\(\displaystyle \int_0^1x^tdx\)
\(\displaystyle =\left[\frac{x^{t+1}}{t+1}\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{1}{t+1}\)
微分と積分の順序交換より
\(\displaystyle \int_0^1x^t\log xdx=-\frac{1}{(t+1)^2}\)
\(t=a\)を代入すると
\(\displaystyle \int_0^1x^a\log xdx=-\frac{1}{(a+1)^2}\)
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{t^2+x^2}dx=\frac{1}{t}\tan^{-1}\frac{1}{t}\)
両辺を微分すると
\(\displaystyle \int_0^1\frac{-2t}{(t^2+x^2)^2}dx=-\frac{1}{t^2}\tan^{-1}\frac{1}{t}-\frac{1}{t(1+t^2)}\)
\(t=1\)を代入すると
\(\displaystyle \int_0^1\frac{-2}{(1+x^2)^2}dx=-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\)
よって
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}\)